Potenssi

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee laskutoimitusta. Nimitystä potenssi käytetään myös seksuaalisesta kyvykkyydestä.

Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa kantaluku kerrotaan itsellään eksponentin ilmaisema määrä kertoja. Kun kantaluku on a ja eksponentti on n, potenssi merkitään aⁿ. Esimerkiksi "10 potenssiin 2" = 10² = 10*10 = 100.

Potenssi voidaan merkitä myös a^n tai kymmenpotenssimuotoon 1E+n, missä E on eksponentti ja + on n:n etumerkki. Tämä tarkoittaa "1 kertaa 10 potenssiin n". Vastaavasti 2,3 miljoonaa merkitään 2,3E6 tai 2,3E+6.

Negatiivinen eksponentti: 10^-2 = 10^-2,1E-2 = 1/100 = sadasosa = yksi prosentti = 1%.

Murtolukueksponentti:

3 = 27^(1/3) = "kuutiojuuri 27:stä" eli kääntäen: 3*3*3=27.

[muokkaa] Potenssin ja eksponentin matemaattinen määritelmä

Potenssin ja eksponentin matemaattinen määritelmä merkitään $a b$ , missä $a$ on kantaluku ja $b$ on eksponentti. Rekursiivinen määritelmä potenssille on: Jos $x$ on reaaliluku ja $n$ on nollaa suurempi luonnollinen luku, niin

$x 1 = x$ ja
$x^n = x \cdot x^{n-1}$ , kun $n \geq 2$ .

Esimerkiksi $4^3 = 4\cdot 4\cdot 4 = 64$ . Lukua $x 2$ kutsutaan $x$ :n neliöksi ja lukua $x 3$ x:n kuutioksi.

Potenssiin korotus on yleistettävissä luonnollislukuisista eksponenteista. $x 0 = 1$ paitsi, että lukua $00$ ei ole määritelty (ks. Nollas potenssi). Negatiivisille kokonaisluvuille eksponentissa potenssi määritellään kaavan

$x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}$

kautta. Luonnollisten lukujen käänteisluvuille potenssi

$x^{\frac{1}{n}} = y$

määritellään yhtälön

y n = x

ratkaisuna. Lukua $x^{\frac{1}{2}}$ kutsutaan $x$ :n neliöjuureksi. Rationaaliluvuille

$\frac{m}{n}$

eksponentissa potenssi määritellään lukuna

$x^{\frac{m}{n}} = \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m = (x^m)^{\frac{1}{n}}$ .

Tämä määrittely on kuitenkin ongelmallinen, sillä siitä seuraa

$(-x)^{\frac{m}{n}}$	$=$	$(-x)^{\frac{2m}{2n}}$
	$=$	$\left( (-x)^{2m} \right)^{\frac{1}{2n}}$
	$=$	$\left( \left( (-x)^2 \right)^m \right)^{\frac{1}{2n}}$
	$=$	$\left( \left( x^2 \right)^m \right)^{\frac{1}{2n}}$
	$=$	$\left( x^{2m} \right)^{\frac{1}{2n}}$
	$=$	$x^{\frac{2m}{2n}}$
	$=$	$x^{\frac{m}{n}}$ .

Yleensä sovitaan, että potenssin rationaalisen eksponentin tulkitaan olevan supistetussa muodossa, ja jos se ei ole kokonaisluku, niin laskutoimitus ei ole määritelty negatiivisille kantaluvuille.

Irrationaaliselle eksponentille potenssi määritellään esimerkiksi rationaalisten eksponenttien raja-arvona. Jos $r$ on irrationaaliluku, niin on olemassa jono rationaalilukuja $(q_1, q_2, \ldots)$ siten, että $q_i \rightarrow r$ , kun $i \rightarrow \infty$ . Tällöin myös jono $(x^{q_1}, x^{q_2}, \ldots)$ suppenee riippumatta edellisen jonon valinnasta, ja $x r$ määritellään sen raja-arvona:

$x^r = \lim_{i \rightarrow \infty} x^{q_i}$ .

Irrationaalinen eksponentti voidaan määritellä myös infimumin ja supremumin avulla siten, että

$x^r = \inf \{ x^q \, | \, q \in \mathbb{Q} \ \textrm{ja} \ q > r \}$ , kun

x > 1

$x^r = \sup \{ x^q \, | \, q \in \mathbb{Q} \ \textrm{ja} \ q > r \}$ , kun

0 < x < 1

Funktiota, jossa eksponentti pysyy samana ja kantaluku muuttuu, kutsutaan potenssifunktioksi. Tämän käänteisfunktio on juurifunktio. Funktiota, jossa kantaluku pysyy samana, mutta eksponentti muuttuu, kutsutaan eksponenttifunktioksi. Tämän käänteisfunktio on logaritmifunktio.

[muokkaa] Nollas potenssi

Jokaisen luvun nollas potenssi $a 0$ on yksi. Nollan nollatta potenssia $00$ ei ole yleisesti määritelty.

$a^0 = 1,\quad a \ne 0,\quad 0^0 =$ ei voida ratkaista

Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

$\frac{a^n}{a^n} =\frac{\not a\cdot \not a\cdot \not a \cdot \cdot \cdot \not a}{\not a\cdot \not a\cdot \not a \cdot \cdot \cdot \not a}$ $=\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot \cdot \cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1\cdot \cdot \cdot 1}$ $= 1$ , toisin sanoen $a n : a n = a n - n = a 0$ $= 1, n \in \mathbb{Z}$

Edellisessä esimerkissä $a$ :ita on yhtä paljon jakoviivan ala- ja yläpuolella, joten ne voidaan supistaa ykkösiksi. Potenssien jakolaskussa samankantaisten potenssien eksponentit vähennetään.

Nollan nollatta potenssia ei ole määritelty. Tietyissä tilanteissa se kuitenkin on määriteltävä. Esimerkiksi binomikaava vaatii, että $00 = 1$ , jotta kaava olisi määritelty, kun x = 0, y = 0 tai x = -y.

[muokkaa] Katso myös

Kahden potenssit

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../p/o/t/Potenssi.html

Luokka: Alkeisalgebra

Potenssi

Wikipedia

[muokkaa] Potenssin ja eksponentin matemaattinen määritelmä

[muokkaa] Nollas potenssi

[muokkaa] Katso myös

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä