Reaaliluku

Wikipedia

Reaaliluku on mitä tahansa lukusuoran pistettä vastaava luku, esimerkiksi 1; −988; 2,654987987, π tai 0. Kaikki reaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon $\mathbb{R}$ .

Reaalilukujen joukko on kaikkien desimaalilukujen joukoksi. Jokainen desimaaliluku $d$ (10-järjestelmässä) voidaan kirjoittaa sarjana $d = \sum_{n = m}^{\infty}{a_n 10^{-n}}$ , jossa m on kokonaisluku ja a_n on jokin luvuista 0, 1, 2, ... tai 9.

Lukua a_n voidaan myös kutsua numeroksi. Sarjassa kymmenen eksponentti $- n$ ilmaisee numeron a_n paikkaa luvussa d. Toisin sanoen, mitä pienempi $- n$ , sitä kauempana oikealla on sitä vastaava numero.

Aiemmassa määritelmässä jokaista reaalilukua vastaa päättymätön lukujono. Esimerkiksi luku 0,5 vastaa sarjaa, jonka kertoimet a_n ovat muodostavat lukujonon a_n = (0,5,0,0,0,...), n = 0,1,2, jne. Jonosta näemme, että lukua 5 seuraa pelkkää nollaa. Nämä nollat eivät lisää luvun arvoa, joten ne voidaan jättää huomiotta. Tästä syystä luvun 0,5 ja vastaavien lukujen sanotaan olevan päättyviä reaaliluvuja. Ne ovat kaikki myös rationaalilukuja.

Päättymättömillä reaaliluvuilla ei ole viimeistä desimaalia. Päättymättömiä lukuja on jaksollisia ja jaksottomia. Jokainen jaksollinen luku on rationaaliluku ja toisin päin. Edelleen jokainen jaksoton luku on irrationaaliluku.

Rationaalilukuja on äärimmäisen tiheässä: jokaisen rationaaliluvun välissä on aina sen keskiarvo, joka on rationaaliluku. Irrationaaliluvut ovat lukuja, joita ei voida esittää murtolukuina. Irrationaaliluvun desimaaliesitys on päättymätön ja jaksoton, joten se voidaan esittää vain likimääräisenä, tyypillinen esimerkki irrationaaliluvusta on π, pii, jonka likiarvo 3,14. Kahden rationaaliluvun välissä on aina irrationaaliluku, mutta toisaalta myös kahden irrationaaliluvun välissä on aina rationaaliluku. Siitä huolimatta irrationaalilukuja on eräässä mielessä olennaisesti "enemmän" kuin rationaalilukuja, sillä niiden joukko on ylinumeroituvasti ääretön kun taas rationaalilukujen joukko vain numeroituvasti ääretön.

Reaaliluvut ja niiden laskutoimitukset voidaan täsmällisesti määritellä rationaaliluvuista muodostettujen ns. Cauchyn jonojen avulla.

Esim. reaaliluku π olisi rationaalilukujono

<4, 4 − 4/3, 4 − 4/3 + 4/5, 4 − 4/3 + 4/5 − 4/7, ...>

(jonka raja-arvo on π), mutta reaaliluku 1 voitaisiin esittää jonona

<1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...>

tai vielä yksinkertaisemmin jonona

<1, 1, 1, ...>.

Kaikkien reaalilukujen joukko $\mathbb{R}$ on lukukunta. Se on ylinumeroituva, eli sen kaikkia lukuja ei voi asettaa päättymättömäksi lukujonoksi. Reaalilukujen joukko joidaan jakaa paitsi rationaalisiin ja irrationaalisiin myös algebrallisiin reaalilukuihin ja transsendenttisiin reaalilukuihin (näihin jälkimmäisiin kuuluu esim. π, edellisiin vaikkapa 1 ja 2:n kuutiojuuri). Eräs jako on tietysti myös negatiiviset luvut, nolla ja positiiviset luvut, joista kukin muodostaa yhteenlaskun suhteen puoliryhmän.

[muokkaa] Katso myös

Pienempi kuin

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../r/e/a/Reaaliluku.html

Luokka: Reaaliluvut

Reaaliluku

Wikipedia

[muokkaa] Katso myös

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä