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Démonstration de la formule de Leibniz - Wikipédia

Démonstration de la formule de Leibniz

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, la formule de Leibniz pour $\pi\,$ établit que

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.$

[modifier] Démonstration

Considérons la série géométrique infinie,

$1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots = \frac{1}{1+x^2} \qquad |x| < 1$

C'est la limite de

$G_n(x)=1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 -+ \cdots - x^{4n-2}= \frac{1-x^{4n}}{1+x^2}, \qquad |x| < 1$

En écrivant que

$\frac{1} {1+x^2}=\frac{1-x^{4n}}{1+x^2}+\frac{x^{4n}}{1+x^2}=G_n (x)+ \frac{x^{4n}}{1+x^2}.$

on obtient, en intégrant de chaque côté entre 0 et 1,

$\int_{0}^{1} \frac{1} {1+x^2}\, dx= \int_{0}^{1}G_n(x)\, dx+\int_{0}^{1}\frac{x^{4n}}{1+x^2}\, dx \ .$

Dans le membre de droite, l'intégrale de $G_n (x)\,$ donne la somme recherchée et l'autre intégrale converge vers 0 à la limite $n \rightarrow \infty$ puisque

$\int_{0}^{1}\frac{x^{4n}}{1+x^2} \, dx< \int_{0}^{1} x^{4n}\, dx=\frac{1}{4n+1} \$

Le membre de gauche,

$\int_{0}^{1} \frac{1} {1+x^2}\, dx$

vaut arctan(1) − arctan(0) = π/4, on a donc

$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots.$

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../d/%C3%A9/m/D%C3%A9monstration_de_la_formule_de_Leibniz_8b48.html »

Catégorie : Démonstration mathématique

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