Leibniz-Reihe

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Im Jahre 1682 steuerte Gottfried Wilhelm Leibniz der Suche nach einer bestmöglichen Annäherung an die Kreiszahl Pi folgende Formel bei, die auch als Leibniz-Reihe bekannt ist:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}$ .

Dabei erhöht sich der Wert des Nenners eines jeden Summanden im Vergleich zum vorherigen um jeweils 2. Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert und dem schottischen Mathematiker Gregory vor 1671 bekannt, Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu.

Die Konvergenz dieser unendlichen Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium.

[Bearbeiten] Eine Liste der Summen, die sich aus Leibniz' Formel ergeben

Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sie eine Näherung der Kreiszahl berechnen, denn es ist

$\pi = 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim \limits_{k\to \infty} (4 \cdot \sum_{n=0}^{k-1}\frac{(-1)^n}{2n+1})$ .

Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.

Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von Pi nicht geeignet.

k (Anzahl der berechneten Brüche)	$4 \cdot \sum_{n=0}^{k-1}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ (Ergebnis)	Verhältnis zur Kreiszahl
2	2.666666666666667	0.848826363156775
4	2.895238095238095	0.921582908570213
6	2.976046176046176	0.947304919574964
8	3.017071817071818	0.960363786700452
10	3.041839618929403	0.968247622890763
12	3.058402765927333	0.973519836326520
16	3.079153394197428	0.980124966449416
20	3.091623806667840	0.984094422023537
24	3.099944032373808	0.986742832121028
28	3.105889738271947	0.988635409088747
32	3.110350273698687	0.990055241612751
36	3.113820229023574	0.991159762697279
40	3.116596556793833	0.992043495273839
44	3.118868313794037	0.992766617986011
48	3.120761579592989	0.993369263206991
...	...	...
100	3.131592903558553	0.996816980705689
1.000	3.140592653839794	0.999681690193394
10.000	3.141492653590034	0.999968169011458
100.000	3.141582653589719	0.999996816901114
1.000.000	3.141591653589774	0.999999681690107
10.000.000	3.141592553589791	0.999999968169010
100.000.000	3.141592643589326	0.999999996816752
1.000.000.000	3.141592652588050	0.999999999681135