Double produit de quaternions

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Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :

$P = Q_1\cdot Q_2\cdot Q_3\,$ ,

dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.

Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes $Q_1\mbox{ et }Q_3\,$ sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type $Q = (a\ ,\ \vec V)\,$ pour représenter les 3 quaternions :

$P = Q_1\cdot Q \cdot Q^{-1}_1 = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)^{-1}$
$P = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|^2} = \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|}\,$

Comme les quaternions $\frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\vec V_1)$ et son inverse $\frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,-\vec V_1)$ sont unitaires, on peut les écrire sous la forme $Q_1 = \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi\ \vec U \right )$ et $Q^{-1}_1 = \left (cos \varphi\ , -\sin \varphi\ \vec U \right )\,$ , d'où l'écriture :

$P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$

En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :

$P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) + (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$

Ainsi le quaternion $P\,$ se décompose en $P_1 + P_2\,$ avec :
$P_1 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$ et
$P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$

Comme $(a\ ,\ \vec 0)\,$ est un scalaire pur, le double produit représenté par $P_1\,$ est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
$P_1 = (a\ ,\ \vec 0) \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0)\cdot (1, \vec 0) = (a\ ,\ \vec 0)$ .
Par conséquent, on a :
$P = (a\ ,\ \vec 0) + P_2\,$ avec $P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$ .

Portons donc notre attention sur le quaternion $P_2\,$ en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
$P_2 = \left[-\sin \varphi\ (\vec U\cdot \vec V), \cos \varphi\ \vec V+\sin \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\right]\cdot \left[\cos \varphi, -\sin \varphi\ \vec U\right]$ , puis :

$\begin{matrix}P_2 = \big[ &-&\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\cdot \vec V) &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\cdot \vec U) &+& \sin^2 \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U,&\ \\\ &+& \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U &+& \cos^2\varphi\ \vec V &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)&\ \\&-& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\wedge\vec U) &-& \sin^2\varphi\ (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U&\ &\ &\big] \end{matrix}$

En éliminant le produit mixte $(\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U$ (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel $(\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U$ , on obtient : $P_2 = \Bigg[0 \ ,\ \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +\ \cos^2\varphi\ \vec V + 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) - sin^2\varphi\ \left[(\vec U\cdot \vec U)\ \vec V - (\vec V\cdot \vec U)\ \vec U \right]\Bigg]$
puis successivement :
$P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec U)\right]\,\vec V\ +\ 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]$
$P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\right]\vec V\ +\ 2\ \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]$
$P_2 = \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]$

Ainsi, il est établi que si le vecteur $\vec U\,$ est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :

$(\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0) + \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]$ ,

Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :

$\cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)]$ ,

on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur $\vec V\,$ dans la rotation $\mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right]$ d'angle $2\,\varphi\,$ et d'axe orienté $\vec U$ normé.

De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante :

[modifier] Conclusion

Dans la rotation $\mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right]$ d'angle $2\,\varphi\,$ et d'axe orienté $\vec U$ normé,

le transformé $\vec V' = \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\,$ de tout vecteur $\vec V\,$ peut être calculé :

soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :

$\left(0 \ ,\ \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\right) = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)\ \ \ \,$ (formule n° 1)

soit grâce à l'égalité vectorielle :

$\mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V) = \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)]\ \ \ \,$ (formule n° 2)