Nombre décimal (mathématiques élémentaires)

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Mathématiques élémentaires

Algèbre

Un nombre décimal est un nombre réel dont on peut donner une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Par exemple, -0,25 est un nombre décimal car il peut s'écrire dans le système décimal avec deux chiffres après la virgule. Le nombre $\frac13$ n'est pas un nombre décimal, son écriture en base 10 étant infinie, $\frac13=0,3333333...$ .

L'ensemble des nombres décimaux se note parfois $\mathbb D$ .

La définition étant équivalente à dire qu'il existe une puissance de 10 dont le produit avec ce nombre est un entier, on peut écrire $\mathbb D=\{ x\in\mathbb R\mid \exists k\in\mathbb Z:10^k x\in\mathbb Z \}$ , où nous avons utilisé la notation standard $\mathbb R$ pour les réels et $\mathbb Z$ pour les entiers relatifs. (Le premier Z aurait pu être remplacé par un N pour désigner les nombres entiers naturels, qui sont les entiers positifs.)

Il est évident qu'aucun nombre irrationnel ne peut être décimal. On aurait donc pu remplacer «réel» par «rationnel» dans les définitions précédentes, dès la première ligne.

On peut d'ailleurs aussi dire qu'un nombre décimal est un nombre dont on peut donner une écriture fractionnaire de la forme $\frac{a}{10^n}$ , où a désigne un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel; c'est donc un nombre rationnel pouvant s'écrire à l'aide d'une fraction dont le dénominateur est égal à une puissance de 10.