Espace séparé

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En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace séparé ou espace de Hausdorff est un espace topologique dans lequel, pour deux points distincts x et y quelconques, il existe un voisinage de x et un voisinage de y disjoints. De tous les axiomes de séparation qui peuvent être demandés à un espace topologique, la condition séparé est un des plus fréquemment supposés et discutés.

Les espaces de Hausdorsff doivent leur nom à Felix Hausdorff, mathématicien allemand qui fut l'un des fondateurs de la topologie. D'ailleurs, dans sa définition originale d'espace topologique, Hausdorff supposait cette condition réalisée.

Sommaire 1 Tout espace métrique est séparé 2 Propriété fondamentale 2.1 Preuve 3 Propriétés voisines de la séparation 3.1 La séparation T1 3.2 La séparation T2 1/2

[modifier] Tout espace métrique est séparé

En effet soit un espace métrique, et soit et deux points distincts de . Notons alors la boule de centre et de rayon (resp. la boule de centre et de rayon ) est un voisinage de (resp. ) et les deux boules ont une intersection nulle.

[modifier] Propriété fondamentale

Dans un espace topologique séparé, une suite convergente a une limite unique.

[modifier] Preuve

Supposons que soit une suite convergeant vers les points x et y dans un espace topologique séparé.

Soit V_x un voisinage de x et V_y un voisinage de y.

tend vers x donc il existe un entier N_x tel que .

tend vers y donc il existe un entier N_y tel que .

Posons N = max(N_x,N_y). On a immédiatement .

Et donc .

Autrement dit, un voisinage de x et un voisinage de y ont forcément des points en commun, ce qui dans un espace topologique séparé implique que x = y (contraposée de la définition de séparé).

Ainsi une suite congergente d'un espace topologique séparé ne peut converger vers deux limites distinctes. CQFD.

[modifier] Propriétés voisines de la séparation

On trouvera dans l'article glossaire topologique plusieurs notions de séparation dans les espaces topologiques. La séparation de deux points distincts par deux voisinages disjoints y possède la classification T₂.

[modifier] La séparation T₁

Une propriété de séparation plus faible est la propriété T₁. Un espace T₁ est tel que deux points distincts possèdent chacun un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Un espace T₂ est évidemment T₁, mais la réciproque est fausse. Par exemple, un espace E infini dont les ouverts non vides sont les complémentaires des parties finies est T₁ mais pas T₂.

Dans un espace T₁, les singletons sont des fermés. En effet soit a un point quelconque. Quelque soit x élément de l'espace topologique il existe un voisinage de x ne contenant pas a. L'union de tous ces voisinages quand x parcourt le complémentaire de a est un ouvert. Le complémentaire de a est donc un ouvert. Dans un tel ensemble, tout ensemble de cardinal fini est fermé.

Dans un espace T₁, tout point est intersection de ses voisinages. Dans un espace T₂, il suffit de prendre l'intersection des voisinages fermés.

[modifier] La séparation T_{2 1/2}

Une propriété de séparation plus forte que la séparation T₂ est la propriété . Dans un espace , deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. Tout espace est un espace T₂, mais la réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant qui est T₂ mais pas .

On considère l'ensemble E constitué de l'intérieur du disque de centre O de rayon 1 et des deux points (1,0) et (-1,0). Une base de voisinages d'un point intérieur au disque est formée des disques centrés en ce point. Une base de voisinages du point (1,0) est constituée de la réunion de ce point et d'une bande semi-circulaire adjacente à ce point et limitée par des segments [(0,1), (0,1-h)] et [(0,-1), (0,-1+h)]. De même pour (-1,0). Dans le dessin ci-dessous, on a représenté en couleur un voisinage d'un point intérieur au disque, et un voisinage de chacun des points (1,0) et (-1,0). Si ces deux derniers voisinages sont ouverts, ils sont disjoints, mais leurs adhérences s'intersectent selon une partie des segments communs qui les limitent. E est donc séparé, mais il ne vérifie pas la propriété .