מרחב האוסדורף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בטופולוגיה, מרחב האוסדורף או מרחב $T 2$ הוא מרחב טופולוגי שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות.

בצורה פורמלית, מרחב טופולוגי יקרא האוסדורף אם ורק אם לכל שתי נקודות כלשהן של המרחב, קיימות סביבות פתוחות וזרות.

[עריכה] התכנסות במרחבי האסודורף

מרחבים שאינם האוסדורף מתנהגים בצורה שונה מרוב המרחבים הסטנדרטיים. למשל, במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מאשר גבול אחד. נדגים זאת, ונוכיח שאם המרחב הוא האוסדורף, לסדרה יש לכל היותר גבול יחיד.

יהא $\!\, X$ מרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה הקו-סופית, כלומר הטופולוגיה בה כל הקבוצות הפתוחות הן הקבוצות שמשלימותיהן סופיות.

תהא $\!\, x_n$ סדרה שכל איבריה שונים זה מזה, ותהא $\!\, x$ נקודה כלשהי במרחב. כל סביבה פתוחה של $\!\, x$ היא קבוצה שמשלימתה סופית, כלומר כל אברי המרחב פרט אולי למספר סופי נמצאים בה, כלומר כל אברי הסדרה $\!\, x_n$ פרט אולי למספר סופי נמצאים בה, כלומר כמעט כל אברי $\!\, x_n$ נמצאים בה (כי מספרם של האיברים השונים זה מזה בסדרה הוא אינסופי). על כן, $\!\, x_n\rarr x$ וזאת לכל $\!\, x\isin X$ .

הראינו את התוצאה הלא אינטואיטיבית לפיה במרחב $\!\, X$ קיימת סדרה שמתכנסת לכל אחד מאברי המרחב.

כעת נוכיח כי אם מרחב $\!\, X$ כלשהו הוא האוסדורף, לסדרה מתכנסת כלשהי $\!\, x_n$ יש גבול יחיד. נניח בשלילה שיש לסדרה שני גבולות: $\!\, x_n\rarr a,x_n\rarr b$ . כעת, מכיוון שהמרחב הוא האוסדורף, קיימות קבוצות פתוחות $\!\, U,V$ כך ש $\!\, a\isin U ,b\isin V$ ומתקיים $\!\, U\cap V=\emptyset$ . כעת, קבוצות פתוחות אלו מהוות סביבות של הנקודות $\!\, a,b$ ולכן על פי הגדרת ההתכנסות, כמעט כל אברי הסדרה $\!\, x_n$ שייכים הן ל- $\!\, U$ והן ל- $\!\, V$ , ומאחר שקבוצות אלו זרות, הגענו לסתירה - לא ייתכן שהחל ממקום מסוים, כל אברי הסדרה יהיו שייכים בו זמנית לשתי קבוצות זרות. מכאן שיש לסדרה גבול יחיד.