Factorisation des polynômes

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On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif $\mathbb{K}$ . On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme d'un produit de polynômes dont les degrés sont strictement inférieurs à celui de P.

Un polynôme n'admettant pas de factorisation (au sens précédent) est dit irréductible ; c'est notamment le cas des polynômes de degré 1. Un théorème classique est l'existence, sur un anneau factoriel, pour tout polynôme non irréductible, d'une factorisation en produit de polynômes irréductibles ; cette factorisation est essentiellement unique, à permutation près des facteurs et aux inversibles près.

[modifier] Cas usuels

Deux cas fréquents sont ceux des polynômes à coefficients dans $\ \R$ et des polynômes à coefficients dans $\ \mathbb{C}$ .

Les seuls polynômes irréductibles de $\ \mathbb{C}[X]$ sont les polynômes de degré 1 : tout polynôme de degré n à coefficients complexes peut se factoriser dans $\ \mathbb{C}[X]$ en produit de n polynômes du premier degré. C'est le théorème fondamental de l’algèbre, ou théorème de d'Alembert-Gauss.

Les polynômes irréductibles de $\ \R[X]$ sont de deux sortes : les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 sans racines réelles : tout polynôme P à coefficients réels peut se factoriser dans $\ \R[X]$ en produit de polynômes de degré 1 (dont les racines sont les racines réelles de P) et / ou de polynômes de degré 2 sans racines réelles (dont les racines, deux à deux conjuguées dans $\ \mathbb{C}$ , sont les racines non réelles de P).