Équation du second degré

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L'Équation du second degré ou équation dite du « second degré » est de la forme

a x 2 + b x + c = 0

où a, b et c sont des coefficients réels ou complexes, a non nul. L'inconnue x peut être réelle ou complexe.

Sommaire

1 Historique
2 Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels
3 Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes
4 Liens internes

[modifier] Historique

Les équations du second degré se posaient chez les Babyloniens (on cherchait alors une solution positive à l'aide d'un algorithme), les Égyptiens voire les Grecs (Livre II des Éléments d'Euclide) mais aucun n'a explicitement étudié les équations. Les équations du second degré ont été les premières équations résolues, l'équation mathématique est inventée en même temps que l'Algèbre par le savant arabo-musulman al-Khwarizmi au IX^e siècle, qui reprit cette tradition, augmentée des connaissances grecques pour la démonstration, afin de trouver une solution (réelle et positive). Notons que les équations étaient présentées sous l'une des formes suivantes parce qu'un nombre était supposé positif :

ax² = bx + c

ax² + bx = c

ax² + c = bx

Jusqu'à la Renaissance, l'algèbre n'utilisait ni symboles ni lettres, et était purement verbale.

[modifier] Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels

Les équations incomplètes $a x 2 + b = 0$ et $a x 2 + b x = 0$ se résolvent par des méthodes particulières simples.

Une équation de la forme $a x 2 + b x + c = 0$ , dont tous les coefficients sont non nuls, est dite "équation complète".

Pour faciliter l'écriture, on pose alors la fonction définie par $f (x) = a x 2 + b x + c$ , puis on procède à sa réduction pour résoudre finalement l'équation $f (x) = 0$ . Ici, on se propose de factoriser à l'aide du discriminant Δ.

[modifier] Forme canonique et discriminant Δ

On se propose d'utiliser pour cela les identités remarquables.
$f(x) = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right]$
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right]$
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]$

On appelle cette forme d'écriture la forme canonique du trinôme.

Soit $Δ = b 2 - 4 a c$ . $Δ$ (delta) est appelé le discriminant de ce trinôme.

[modifier] Si Δ > 0

Si $Δ > 0$ , on peut écrire que l'équation $f (x) = 0$ équivaut à :
$0 = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}$
$0 = \left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right)$
$0 = \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$
$0 = \left(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)$

alors l'équation a deux racines réelles distinctes $x 1$ et $x 2$ :
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

La fonction $f$ se factorise finalement :
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\,$ .

[modifier] Si Δ = 0

Si $Δ = 0$ , on peut écrire, par la même méthode, que $f (x) = 0$ équivaut à dire que :
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$

L'équation a alors une racine réelle double $x 0$ :
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

On peut alors factoriser la fonction $f$ tel que
$f(x) = a(x-x_0)^2\,$

Or, cette écriture est une identité remarquable ; ainsi, toute identité remarquable de la forme $(a - b) 2$ a pour discriminant 0, et sa racine double peut être aisément trouvée, sans même calculer le discriminant.

[modifier] Si Δ < 0

On rappelle que la forme canonique du trinôme est :
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$ , donc résoudre $f (x) = 0$ revient à résoudre :

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta }{4a^2}= 0$

[modifier] Résolution dans l'ensemble des réels

Soit α un réel, tel que :
$\alpha = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$
On sait qu'un carré ne peut être négatif, donc $\alpha \ge 0$ .
Mais $\Delta < 0 \Rightarrow -\Delta > 0$
Or la somme de deux nombres positifs dont l'un est strictement positif n'est jamais égale à zéro. Donc, si $Δ < 0$ , il n'existe aucune racine réelle au trinôme.

[modifier] Résolution dans l'ensemble des complexes

Cependant, il existe deux racines complexes $z 1$ et $z 2$ . Sachant que $\Delta = b^2 - 4ac\,$ et que $\Delta = -\Delta \cdot i^2\,$ , posons $\delta = \sqrt{-\Delta} = \sqrt{4ac - b^2}$ . Ainsi, $\Delta = \delta^2 \cdot i^2$ . En reprenant la factorisation déjà utilisée dans le cas où $Δ > 0$ , on trouve :
$z_1 = \frac{-b - i\delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\delta}{2a}$ .

La fonction se factorise alors : $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)\,$

Remarquons que dans tous les cas, un polynôme du second degré possède deux racines : soit deux racines réelles distinctes, soit deux racines réelles confondues (c'est-à-dire une racine double), soit deux racines complexes. (Conséquence du théorème de d'Alembert-Gauss.)

[modifier] Exemples

$x 2 + 3 x + 3 = 0$ n'a pas de solution dans l'ensemble des réels car Δ = – 3 < 0. Cependant, dans l'ensemble des complexes, elle admet deux solutions $z 1$ et $z 2$ telles que $z_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2}$ et $z_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}$
$x 2 - 2 x + 1 = 0$ a un discriminant Δ nul donc a pour solution double $x_0=-\frac{-2}{2}=1$
$7 x + 15 - 2 x 2 = 0$ a un discriminant Δ = 169 strictement positif donc admet deux solutions : $x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\times(-2)}=\frac{-7-13}{-4}=\frac{20}{4}=5$ et $x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\times(-2)}=\frac{-7+13}{-4}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$ .

[modifier] En utilisant les racines évidentes

Les racines d'un polynôme du second degré ont plusieurs propriétés intéressantes et qui peuvent simplifier leur recherche. Soit S la somme des racines, on a
$S = x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Soit P le produit des racines, on a

$P = x_1x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\times \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2}$
$P = \frac{-(\sqrt{\Delta} - b)(\sqrt{\Delta} + b)}{4a^2} = \frac{-(\Delta - b^2)}{4a^2} = \frac{-(b^2 - 4ac - b^2)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Il est donc très facile de calculer ces deux valeurs. Et dès que l'on a trouvé une des deux racines d'un polynôme (en faisant un peu de calcul mental et en essayant des valeurs simples à calculer comme 0, 1, 2, -1...), la seconde racine devient évidente: $x_2 = S - x_1 = -\frac{b}{a} - x_1$ ou encore $x_2 = \frac{P}{x_1} = \frac{c}{ax_1}$ . Ainsi, avec le trinôme $x 2 + 3 x - 4$ , on trouve comme première racine $x 1 = 1$ et comme $\frac{c}{a} = -4$ , on n'a même plus besoin de calculer pour trouver la deuxième racine $x 2 = - 4$ . Finalement, l'utilisation de racines évidentes et des propriétés des racines d'un polynôme permet d'accélérer grandement la recherche de ces racines.

[modifier] Gain de précision

Lorsque $Δ > 0$ , si $b$ est positif, l'expression de $x 1$ conduit à calculer la différence des deux nombres $\sqrt{\Delta}$ et $b$ . Cela entraîne une perte de précision, d'autant plus grave que $\sqrt{\Delta}$ est très proche de $b$ , ou que $4 a c$ est petit par rapport à $b 2$ .

Utilisant les propriétés des racines, on calcule $x 1$ sans perte de précision :
$x_1 = \frac c {a x_2}$

Si $b$ est négatif, on calcule $x 2$ tel que :
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2 = \frac c {a x_1}$

[modifier] Discriminant réduit

Si b est pair, on peut utiliser le discriminant réduit.

On pose $b' = \frac{b}{2}$

Discriminant réduit : $Δ' = b' 2 - a c$

Si Δ' > 0, les solutions sont $x 1$ et $x 2$ :

$x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$
$x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$

Si Δ' = 0, il y a une racine double $x_0 = \frac{-b'}{a}$

[modifier] Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes

On écrit

$f(x) = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$
$= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right]$
$= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right]$
$= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]$

On distingue deux cas selon que le discriminant $Δ = b 2 - 4 a c$ est nul ou pas.

Si $\Delta\neq 0$ alors $Δ$ admet deux racines carrées complexes opposées $δ$ et $- δ$ .

On obtient alors la factorisation:

$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}-\frac{\delta}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a}+\frac{\delta}{2a}\right)\right]$

On en déduit que l'équation admet deux solutions:

$\frac{-b+\delta}{2a}$ et $\frac{-b-\delta}{2a}$

Si $Δ = 0$ alors

$f(x) = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$

L'équation admet une unique solution

$\frac{-b}{2a}$

Remarque : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.

[modifier] Liens internes

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