Discriminant

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En mathématiques, il existe plusieurs notions de discriminant. Cette notion n'est pas à confondre avec celle du déterminant.

[modifier] Le discriminant d'un polynôme

Le discriminant d'un polynôme $P$ à coefficients dans un anneau est une fonction polynomiale des coefficients de $P$ qui a pour but de discriminer les cas de racines multiples. Par exemple, il y a une racine multiple lorsque le graphe de $P (x)$ touche l'axe des abscisses "sans le traverser", i.e., semble rebondir sur cet axe.

Le discriminant d'un polynôme $P$ de degré $n$ et de coefficient dominant $a$ est donné par la formule :

$\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}{2}}{a}R(P,P')$

où $R (P, P')$ est le résultant du polynôme $P$ et de son polynôme dérivé.

Le calcul du discriminant pour les polynômes du second degré se généralise pour les polynômes de tout degré supérieur.

Pour les polynômes du second degré à une variable, de la forme $P (x) = a x 2 + b x + c$ , où les coefficients $a, b, c$ sont des nombres réels, le discriminant est défini par $Δ = b 2 - 4 a c$ . Pour plus de détails, voir l'article sur les équations du second degré.

Les courbes elliptiques sont un cas particulier de polynômes du troisième degré à deux variables. Pour le cas simple d'une courbe elliptique de la forme $y 2 = x 3 + a x + b$ , où les coefficients $a, b$ sont des nombres réels, le discriminant est défini par $Δ = - 16(4 a 3 + 27 b 2)$ .

Pour un polynôme à une variable de degré général $n$ , dénoté $P (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0$ où les coefficients sont des nombres réels, le discriminant est défini comme le déterminant de la matrice de dimension $(2 n - 1)$ × $(2 n - 1)$ suivante, voir aussi résultant. (Noter que le polynôme est normalisé pour que $a n = 1$ .)

$\begin{pmatrix} 1 & a_{n-1} & a_{n-2} & . & a_{0} & 0 & . & . & . & 0 \\ 0 & 1 & a_{n-1} & . & . & a_{0} & 0 & . & . & 0 \\ 0 & 0 & 1 & . & . & . & a_{0} & 0 & . & 0 \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & 1 & a_{n-1} & a_{n-2} & . & . & . & a_{0} \\ n & (n-1) a_{n-1} & (n-2) a_{n-2}& . . . & 0 & 0 & . & . & . & 0 \\ 0 & n & (n-1)a_{n-1} & . . . & 1 a_1 & 0 & 0 & . & . & 0 \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & . & . & 1 a_1 & 0 \\ 0 & 0 & . . . & 0 & n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& . & . & 1 a_1 \\ \end{pmatrix}$

Par exemple, pour un polynôme de degré $n = 4$ , le discriminant est égal à

$\begin{vmatrix} & 1 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 &\\ & 0 & 1 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 &\\ & 0 & 0 & 1 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 &\\ & 4 & 3a_3 & 2a_2 & a_1 & 0 & 0 & 0 &\\ & 0 & 4 & 3a_3 & 2a_2 & a_1 & 0 & 0 &\\ & 0 & 0 & 4 & 3a_3 & 2a_2 & a_1& 0 &\\ & 0 & 0 & 0 & 4 & 3a_3 & 2a_2 & a_1 &\\ \end{vmatrix}$

où les barres verticales colatérales dénotent le calcul du déterminant.

Pour n=2, on retrouve le discriminant d'une équation du second degré :

Soit $P = a X 2 + b X + c$ , alors

$\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{2(2-1)}{2}}{a}\times\begin{vmatrix} & a & b & c &\\ & 2a & b & 0 &\\ & 0 & 2a & b &\\ \end{vmatrix} = b^2 - 4ac$

[modifier] Le discriminant d'un corps de nombres algébriques

Il existe également une notion de discriminant pour certains corps. C'est un invariant numérique, qui permet notamment d'estimer la complexité de certains calculs arithmétiques dans ce corps.

Un corps de nombres algébriques K étant fixé, et son anneau des entiers, noté A, soit ω_i une base du $\mathbb{Z}$ -module A. Le discriminant du corps est alors défini comme le déterminant de la matrice :

$Det((\omega_i^{\sigma_j})_{i,j})$

où $\omega_i^{\sigma_j}$ désigne les éléments conjugués aux ω_i. Un changement de base ne change pas le discriminant.

Seuls les diviseurs du discriminant sont susceptibles de se ramifier dans l'extension K/Q. Des minorations du discriminant, en fonction du degré du corps considéré, peuvent être obtenues par des méthodes relevant de la géométrie des nombres.