Groupe sporadique

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La classification des groupes finis simples, aussi appelée "le théorème énorme", est un vaste corps de travail en mathématiques, principalement publié entre environ 1955 et 1983, qui a pour but de classer tous les groupes simples finis. En tout, le travail comprend des dizaines de milliers de pages dans 500 articles par plus de 100 auteurs.

Sommaire

1 La classification
2 Liste des groupes sporadiques
3 Scepticisme restant sur la démonstration
4 Une classification de deuxième génération
5 Références

[modifier] La classification

Dans l'étude de la classification des groupes finis simples, les mathématiciens ont été amenés à découvrir des êtres mathématiques inattendus qu'ils appelèrent des groupes sporadiques pour marquer ce qu'ils ont d'inhabituel. Si elle est correcte, la classification montre que chaque groupe fini simple est de l'un des types suivants :

Un groupe cyclique avec un ordre premier
Un groupe alterné de degré au moins égal à 5
Un "groupe classique" (groupe linéaire projectif spécial, symplectique, orthogonal ou unitaire sur un corps fini)
Un groupe de type de Lie exceptionnel ou tordu (incluant le groupe de Tits)
Un des 26 groupes connus sous le nom groupes sporadiques (listés ci-dessous)

Le théorème a des applications répandues dans beaucoup de branches de mathématiques, comme les questions sur les groupes finis peuvent souvent être réduites à des questions sur les groupes finis simples, qui par la classification peuvent être réduits à une énumération de cas.

Quelquefois le groupe de Tits est regardé comme un groupe sporadique (dans ce cas, il existe 27 groupes sporadiques) parcequ'il n'est pas à strictement parler un groupe de type de Lie.

Le plus petit des groupes sporadiques, mis en évidence par Emile Mathieu (1835-1890), possède 2⁴.3².5.11=7 920 éléments. Le plus gros groupe sporadique est le monstre de Fischer et il possède 2⁴⁶.3²⁰.5⁹.7⁶.11².13³.17.19.23.29.31.41.47.59.71 soit à peu près 8.10⁵³ éléments. L'arrivée de l'ordinateur a été déterminante dans la détermination de ces groupes.

[modifier] Liste des groupes sporadiques

Cinq des groupes sporadiques ont été découverts par Mathieu dans les années 1860 et les 21 autres entre 1965 et 1975. L'existence de plusieurs de ces groupes avait été conjecturée avant leur construction effective. La plupart des groupes sporadiques portent le nom du ou des mathématicien(s) qui ont montré leur existence en premier. Voici la liste complète :

Les groupes de Mathieu M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
Les groupes de Janko J₁, J₂ (également appelé groupe de Hall-Janko HJ), J₃, J₄
Les groupes de Conway Co₁, Co₂, Co₃
Les groupes de Fischer F₂₂, F₂₃, F₂₄
Le groupe de Higman-Sims HS
Le groupe de McLaughlin McL (noté aussi Mc)
Le groupe de Held He
Le groupe de Rudvalis Ru
Le groupe de Suzuki sporadique Suz
Le groupe de O'Nan O'N
Le groupe de Harada-Norton HN (noté aussi F₅)
Le groupe de Lyons Ly
Le groupe de Thompson Th (noté aussi F₃)
Le groupe Bébé Monstre B (noté aussi F₂)
Le groupe Monstre M ou groupe de Fischer-Griess (noté aussi F₁)

Les représentations sur les corps finis de tous les groupes sporadiques ont été calculées, excepté pour le groupe Monstre.

Des 26 groupes sporadiques, 20 d'entre eux peuvent être vus à l'intérieur du groupe Monstre comme des sous-groupes ou quotients de sous-groupes. Les 6 exceptions sont $J_1\,$ , $J_3\,$ , $J_4\,$ , $O'N\,$ , $Ru\,$ et $Ly\,$ . Ces 6 groupes sont quelque fois connus sous le nom de parias.

Jusqu'ici, il y a eu peu de progrès dans l'apport d'une unification convaincante des groupes sporadiques.

[modifier] Scepticisme restant sur la démonstration

Certains doutes persistent si ces articles fournissent une démonstration complète et correcte, en raison de la longueur, de la complexité du travail publié et du fait que des parties de la démonstration supposée reste non-publiée. Jean-Pierre Serre est un sceptique notable de la réclamation d'une démonstration. De tels doutes étaient justifiés jusqu'à un degré comme lacunes qui furent trouvées plus tard et éventuellement résolues.

Pendant plus d'une décennie, les experts ont connu un "trou sérieux" (en accord avec Michael Aschbacher) dans la classification (non-publiée) des groupes quasi-minces(?) due à Geoff Mason. Gorenstein annonça la classification des groupes finis simples en 1983, basée en partie sur l'impression que le cas quasi-mince était achevé. Aschbacher remplit ce trou au début des années 90, aussi non-publié. Aschbacher et Steve Smith ont publié une démonstration différente comprenant deux volumes d'environ 1 300 pages.

[modifier] Une classification de deuxième génération

À cause de l'extrême longueur de la démonstration de classification des groupes simples finis, il y a eu beaucoup de travaux, appelés "révisionnisme", originellement conduits par Daniel Gorenstein, dans la recherche d'une démonstration plus simple. C'est ce que l'on a appelé la démonstration de classification de deuxième génération.

Six volumes ont été publiés en 2005 et les manuscrits existent pour la plupart du reste. Les deux volumes d'Aschbacher et de Smith ont été écrits pour fournir une démonstration pour le cas quasi-mince qui marcherait avec la démonstration de première et deuxième génération. Il a été estimé que la nouvelle démonstration serait approximativement de 5 000 pages lorsqu'elle sera complète. (Il est à noter que les nouvelles démonstrations ont été écrites dans un style plus généreux).

Gorenstein et ses collaborateurs ont donné plusieurs raisons pourquoi une démonstration plus simple est possible. La plus importante est que l'énoncé final et correct est maintenant connu. Les techniques qui peuvent être appliquées seront suffisantes pour les groupes actuels. Par contraste, pendant la démonstration originale, personne ne savait combien de groupes sporadiques existaient, et en fait, certains (par exemple, les groupes de Janko) ont été découvert dans le processus d'essai de démonstration des cas du théorème de classification. En conséquence, des techniques excessivement générales ont été appliquées.

De nouveau, parceque la conclusion était inconnue, et pour une longue période pas même concevable, la démonstration originale consista en beaucoup de théorèmes complets séparés, classifiant les cas particuliers importants. Ces démonstrations, en ordre pour atteindre leur propres énoncés finaux, ont dû analyser de nombreux cas particuliers. Souvent, la plupart du travail résidait dans ces exceptions. En tant qu'élément d'une plus grande démonstration organisée, beaucoup de ces cas particuliers peuvent être déviés, manipulés lorsque les propositions plus puissantes peuvent être appliquées. Le prix payé est que ces théorèmes originaux, dans la stratégie révisée, n'ont plus comparativement de démonstrations courtes, mais dépendent de la classification complète.

Ces théorèmes séparés n'étaient pas efficients au regard de la subdivision des cas. De nombreux groupes cibles étaient identifiés de multiples fois comme un résultat. La démonstration révisée relie les différentes subdivisions de cas, éliminant ces redondances.

Finalement, les théoristes de groupes finis ont acquis plus d'expérience et de nouvelles techniques plus efficaces.

[modifier] Références

(en) Michael Aschbacher, The Status of the Classification of the Finite Simple Groups, Notes de l'American Mathematical Society, Août 2004
(en) Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups (volume 1), AMS, 1994 (volume 2), AMS,
(en) Ron Solomon: On Finite Simple Groups and their Classification, Notes de l'American Mathematical Society, Février 1995
(en) Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985.
(en) Orders of non abelian simple groups: inclus une liste de tous les groupes simples non-abéliens jusqu'à l'ordre 10 000 000 000.
(en) Atlas of Finite Group Representations: contient les représentations et d'autres données pour beaucoup de groupes finis simples, incluant les groupes sporadiques.