Sous-groupe

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Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.

Dans cet article, $(G,*)\,$ désigne un groupe d'élément neutre $e \,$ .

Sommaire

1 Définition
2 Caractérisation
3 Propriété
4 Exemples
5 Théorème de Lagrange
6 Liens avec les homomorphismes
7 Liens avec les treillis
8 Voir aussi

[modifier] Définition

Soit H un sous-ensemble de G.

On dit que $(H,\star)\,$ est un sous-groupe de $(G,*)\,$ si $(H,\star)$ est un groupe dont la loi $\star\,$ s'obtient par restriction de $*\,$ à $H \times H \,$ .

Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire $*$ .

[modifier] Caractérisation

Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide et :

$\forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H$

[modifier] Propriété

L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même aussi bien dans H que dans G.

[modifier] Exemples

[modifier] Sous-groupe des entiers relatifs

G un sous-groupe de Z si et seulement si il existe un entier n tel que G soit égal à n Z.

Démonstration

[modifier] Sous-groupe monogène

Un sous-goupe monogène est isomorphe à $\mathbb{Z}/n$ , où n est un entier strictement positif.

Démonstration

^{[modifier] Sous-groupe d'un groupe cyclique}

^{Soit G un groupe cyclique d'ordre p.q où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors il existe un unique sous-groupe d'ordre p, il est cyclique et engendré par g^{q ^{si g est un élément généraleur de G.}}}

^{La démonstration est donnée dans Groupe cyclique.}

^{[modifier] Sous-groupe engendré par une partie}

^{Article détaillé : Génération d'un groupe.}

^{Soit une partie de $G$ .}

^{Il existe un plus petit sous-groupe de $G$ contenant $S$ , appelé sous-groupe engendré par S, et noté .}

^{[modifier] Théorème de Lagrange}

^{Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que :}

^{[G : H] |H| = |G|}

^{où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.}

^{[modifier] Liens avec les homomorphismes}

^{La notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante :}

^{Soit un homomorphisme de groupe.}

^{Article détaillé : homomorphisme de groupe.}

^{[modifier] Liens avec les treillis}

^{Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes $A$ et $B$ est leur intersection . La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit .}

^{Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.}