Hyperplan

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.

Sommaire

1 Définition
2 Caractérisation
3 Lien avec les formes linéaires
4 Exemples
5 Représentation des sous-espaces

[modifier] Définition

Soit E un $\mathbb K$ -espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1.

Remarques :

Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriel de dimension n-1.
Dans $\mathbb{R}^3 \,\!$ , la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

[modifier] Caractérisation

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

$H$ est un hyperplan
Il existe une droite $D$ telle que $E=H \oplus D \,$
$\forall e \in E\backslash H, \quad E=H \oplus \mathbb K \, e$

[modifier] Lien avec les formes linéaires

On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.

C'est à dire : H est un hyperplan de E $\Longleftrightarrow \; \exists \phi \in E^*\backslash\{0\} \;\; tq \;\; H=\ker \phi$

Interprétation de ce résultat dans le $\mathbb{R}\,\!$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^3 \,\!$ :

Toutes les formes linéaires sur $\mathbb{R}^3 \,\!$ peuvent s'écrire sous la forme suivante : $\phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto ax+by+cz \,\!$ avec $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \,\!$ fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de $\mathbb{R}^3 \,\!$ peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit $H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\} \, \!$

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).

[modifier] Exemples

a) Soit $E=\mathcal M_n(\mathbb K) \,$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans $\mathbb K \,$ .

L'ensemble des matrices de trace nulle $H=\{A \in E\, / \, Tr \, A =0\} \,$ est un hyperplan de E.

b) $E=\mathbb K[X] \,$ l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: $H=\{P \in E\, / \, P(0)=0\}$ est un hyperplan de E.

Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

[modifier] Représentation des sous-espaces

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.

On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.

Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../h/y/p/Hyperplan.html »

Catégories : Wikipédia:ébauche mathématiques • Algèbre linéaire

Hyperplan

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Caractérisation

[modifier] Lien avec les formes linéaires

[modifier] Exemples

[modifier] Représentation des sous-espaces

Views

Navigation

Contribuer

Rechercher

Autres langues