Espace dual

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L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Exemples
2 Dualité en dimension finie
- 2.1 Exemple
3 Orthogonal
4 Représentation des sous-espaces
5 Voir aussi

[modifier] Définitions

Soient (K,+, x) un corps, E un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application $\phi : E \to \mathbb{K} \,\!$ telle que :

$\forall (x,y) \in E^2 , \forall \lambda \in \mathbb{K}, \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y) \,\!$

L'ensemble $\ \mathcal{L}(E,\, \mathbb{K})$ des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté $E^*\,\!$ .

Si $\phi \,\!$ est un élément de $E^*\,\!$ et $x \,\!$ un élément de $E\,\!$ , on écrit parfois $\langle\phi,x\rangle \,\!$ pour $\phi(x) \,\!$ . Cette notation est dite crochet de dualité.

[modifier] Exemples

Cas d'un espace préhilbertien.

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire, on a un moyen naturel de « plonger » $E\,\!$ dans $E^*\!$ , c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme entre $E\,\!$ et un sous-espace de $E^*\!$ : à chaque élément $x \,\!$ de E on associe la forme linéaire $\phi_x : E \to \mathbb{K}, y \mapsto \langle x,y\rangle \,\!$ . Alors l'application $f : E \to E^*, x \mapsto \phi_x \,\!$ est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace $f(E) \,\!$ de $E^*\,\!$ .

[modifier] Dualité en dimension finie

Si l'espace E est de dimension finie $n \,\!$ , alors l'espace dual $E^*\,\!$ , isomorphe à E, est lui aussi de dimension $n \,\!$ .

Obtention de ce résultat par construction de base « duale »:

Si $\mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} \,\!$ est une base, on peut définir les formes coordonnées : pour chaque $i \in I \,\!$ la forme coordonnée $e_i^* \,\!$ associe à chaque vecteur de E sa i-ième coordonnée en base $\mathcal{B} \,\!$ .

$\forall x \in E \, \!$ on écrit $x = \sum_{j \in I} x_j e_j \,\!$ et alors $e_i^*(x) = x_i \,\!$ .

Théorème: $\mathcal{B}^* = (e_i^*)_{i \in I} \,\!$ est une base de E* dite base duale de la base $\mathcal{B} \,\!$ , et toute forme linéaire $\phi \,\!$ sur E, s'écrit alors : $\phi = \sum_{i \in I} \phi(e_i) e_i^* \,\!$

Puisque $\mathcal{B}^* \,\!$ est une base de $E^*\,\!$ , on en déduit le résultat annoncé plus haut:

En dimension finie, un espace a donc la même dimension que son espace dual. Remarquons qu'on ne peut pas affirmer dans le cas général qu'un espace vectoriel est isomorphe à son dual : ceci est faux pour certains espaces vectoriels de dimension infinie.

[modifier] Exemple

Les polynômes de Lagrange associés à des scalaires $x_0,x_1,\dots,x_n$ (voir Interpolation lagrangienne) forment une base de l'ensemble des polynômes dont la base duale est formée des fonctions d'évaluations $\ \phi_i(P)=P(x_i)$ .

[modifier] Orthogonal

E est un espace vectoriel quelconque (on ne suppose pas de dimension finie).

Si A est un sous-espace de $E\,$ , on définit l'orthogonal de A dans $E^*\,$ par :

$A^\circ=\{\phi \in E^*\colon \forall x \in A, \langle\phi,x\rangle=0\} \,$

Si B est un sous-espace de $E^*\,$ , on définit l'orthogonal de B dans $E \,$ par :

$B^\bot=\{x \in E\colon\forall \phi \in B, \langle\phi,x\rangle=0\} \,$

Il ne faut pas confondre la notion d'orthogonal d'un sous-espace dans la théorie de dualité avec l'orthogonalité dans la théorie des espaces euclidiens.

[modifier] Représentation des sous-espaces

Ce paragraphe présente une application très importante de l'étude de l'espace dual : la représentation d'un sous-espace comme intersection d'hyperplans. On se restreint ici au cas d'un espace vectoriel de dimension finie.

Cadre : E est un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Soit F un sous-espace de dimension p (distinct de E) ; on a donc p < n.

Alors, il existe q = n - p formes linéaires indépendantes $\phi_1, ..., \phi_q \, \!$ telles que :

$F=\bigcap_{i=1}^q \ker \phi_i \, \!$ c'est-à-dire $\forall x \in E, (x \in F \Leftrightarrow \phi_1(x)=0, ... , \phi_q(x)=0) \, \!$

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droite ou de plan par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite.

Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

On peut donc représenter un sous-espace F de dimension p par q équations linéaires indépendantes, où $q = \dim E- p \, \!$ .