Inégalité de Jensen

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En mathématiques, l' inégalité de Jensen est une relation utile concernant les fonctions convexes (respectivement, concaves). On peut l'écrire de deux manières : discrète ou intégrale. Dans le cas d'une fonction concave, le sens de l'inégalité est renversé.

[modifier] Forme discrète

Soit f une fonction convexe. Soit (x₁, ..., x_n) une famille de réels appartenant à l'intervalle de définition de f. Soit (λ₁, ..., λ_n) une famille de réels de l'intervalle [0; 1] tels que :

$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$

Alors on a :

$f \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f \left( x_i \right)$

[modifier] Preuve

Une démonstration - ardue - utilisant une récurrence est envisageable. On retrouve l'inégalité de convexité simple pour n = 1.

[modifier] Forme intégrale

Soit a et b deux éléments de $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$ tels que a < b. Soit $~\phi~$ une fonction continue de [0; 1] dans ]a; b[. Soit enfin $~f~$ une fonction convexe de ]a; b[ à valeurs réelles. Alors :