Théorème de Krein-Milman
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En géométrie, le théorème de Krein-Milman est un résultat de structure des ensembles convexes, portant le nom de ses découvreurs Mark Krein et David Milman.
Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe.
Plus généralement on définit les points extrémaux d'un ensemble convexe, qui généralisent la notion de sommet d'un polygone. Ce sont les points qui, quand ils se trouvent dans un segment inclus dans le convexe, sont toujours à une extrémité du segment. On a figuré en rouge un exemple d'ensemble de points extrémaux associés à un convexe.
Le théorème de Krein-Milman en dimension finie s'énonce : une partie compact convexe d'un espace vectoriel de dimension finie est enveloppe convexe de l'ensemble de ses points extrémaux.
Le résultat peut être généralisé aux espaces vectoriels topologiques localement convexes, à condition de parler de fermeture convexe au lieu d'enveloppe convexe.
[modifier] Référence
- M. Krein, D. Milman (1940) On the extreme points of regularly convex sets, Studia Mathematica 9 133-138.
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