Théorème de Carathéodory (géométrie)

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Le théorème de Carathéodory est un théorème de géométrie convexe caractérisant les enveloppes convexes des parties d'un espace affine.

Sommaire

1 Enoncé
2 Preuve
3 Corollaire
4 Notes

[modifier] Enoncé

$E$ est un espace affine réel de dimension $n$ . $A$ est une partie de $E$ . Le théorème établi par le mathématicien grec Constantin Carathéodory^[1] affirme que :

L'enveloppe convexe de $A$ est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls d'au plus $n + 1$ points de $A$ .

[modifier] Preuve

Notons $\mathcal{C}(A)$ l'enveloppe convexe de $A$ , et $Γ$ l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls d'au plus $n + 1$ points de $A$ . On veut montrer l'égalité de ces deux ensembles.

L'inclusion $\Gamma \subset \mathcal{C}(A)$ est évidente. La démarche de la preuve est de montrer que si un élément $x$ de l'enveloppe convexe s'écrit comme barycentre de $p + 1$ éléments de $A$ $(p \geq n+1)$ , alors c'est un barycentre de $p$ éléments de $A$ , et on réitère le procédé jusqu'à obtenir $x \in \Gamma$ .

Soit $x \in \mathcal{C}(A)$ . $x$ s'écrit $x = \sum_{i = 1}^{p+1} \lambda_i a_i$ , avec $p \in \mathbb{N}, \sum_{i=1}^{p+1} \lambda_i = 1$ et $\forall i, 1 \leq i \leq p + 1, a_i \in A, \lambda_i \in \mathbb{R}^+$ .

Si $p \leq n$ , alors $x \in \Gamma$ . Si $p \geq n + 1$ , alors $(a_1, \dots, a_{p+1})$ est affinement lié. Donc il existe des coefficients non tous nuls $\mu_1, \dots, \mu_{p+1}$ tels que $\sum_{i=1}^{p+1} \mu_i a_i = 0$ et $\sum_{i=1}^{p+1} \mu_i = 0$ . Si les $μ i$ sont tous négatifs, alors ils sont tous nuls, ce qui est exclu ; il existe donc un $μ i > 0$ . On peut alors poser : $\frac{\lambda_k}{\mu_k} = \inf \{ \frac{\lambda_i}{\mu_i}, 1 \leq i \leq p + 1, \mu_i > 0 \}$ . On peut supposer que $k = 1$ . On vérifie alors que $x = \sum_{i=2}^{p+1} \delta_i a_i$ , où les $δ i$ sont définis par $\delta_i = \lambda_i - \lambda_1 \frac{\mu_i}{\mu_1}$ .

Si $μ i > 0$ , alors $\frac{\lambda_i}{\mu_i} \geq \frac{\lambda_1}{\mu_1}$ et donc $\delta_i \geq 0$ . Si $\mu_i \leq 0$ , alors $δ i$ est positif en tant que somme de deux termes positifs. Par ailleurs, la somme des $δ i$ vaut $\sum_{i=2}^{p+1} \delta_i = \sum_{i=2}^{p+1} \lambda_i - \frac{\lambda_1}{\mu_1} \sum_{i=2}^{p+1} \mu_i = 1 - \lambda_1 - \frac{\lambda_1}{\mu_1} \times (- \mu_1) = 1$ .

$x$ est donc barycentre de $p$ éléments de $A$ . CQFD.

[modifier] Corollaire

Si $A$ est compact, il est est de même de $\mathcal{C}(A)$

En effet, soit $\Delta\,$ l'ensemble des $p+1\,$ -uples de nombres positifs de somme $1\,$ . Alors $\mathcal{C}(A)$ est l'image du compact $A^{p+1}\times \Delta$ par l'application continue

$(a_1,\cdots, a_{p+1}, u_1,\cdots, u_{p+1})\mapsto\sum_{i=1}^{p+1}u_ia_i$

[modifier] Notes

↑ Constantin Carathéodory, Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen, Math. Ann., 64:95-115, 1907

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