Nombre de Fermat

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Sommaire

1 Définition
2 Nombre de Fermat et primalité
3 Factorisation des nombres de Fermat composés
4 Autres résultats
5 Généralisation
6 Voir aussi
7 Liens externes

[modifier] Définition

En mathématiques, un nombre de Fermat est un entier naturel de la forme $2^{2^n} + 1$ , noté $F n$ . Leur nom provient de celui du mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665), qui émit la conjecture selon laquelle ces nombres sont premiers.

On prouve aisément que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

[modifier] Nombre de Fermat et primalité

Considérons les nombres entiers m de la forme $2 k + 1$ . Alors une condition nécessaire de primalité pour ces nombres est : k doit être une puissance de 2, i.e. $k = 2 n$ .

Sur cette base, Pierre de Fermat a conjecturé que la réciproque était vraie, i.e. que tous les nombres $2^{2^n} + 1$ étaient premiers. Il a pour cela vérifié que

F 0 = 3

est premier

F 1 = 5

est premier

F 2 = 17

est premier

F 3 = 257

est premier

F 4 = 65537

est premier

Cependant, cette conjecture fut infirmée par Leonhard Euler en 1732 grâce au contre-exemple 4 294 967 297 ( $F 5$ ), qui est le produit de 641 par 6 700 417.

Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus.

En 2004, on ignore encore s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat $F n$ , pour $n$ entre 5 et 32, sont tous composés ; $F 33$ est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composé.

Le plus grand nombre de Fermat dont on sait qu'il est composé est actuellement $F 2478782$ .

Tous les facteurs premiers d'un nombre de Fermat sont de la forme m2^(k+1)+1.

[modifier] Factorisation des nombres de Fermat composés

La factorisation des nombres de Fermat composés est un problème difficile du fait de la taille des entiers $F n$ , même pour des valeurs relativement faibles de $n$ . Actuellement, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est $F 11$ dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 560 chiffres (la factorisation complète de $F n$ , pour $n$ entre 5 et 10, est, elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne $F 12$ , on sait qu'il est composé mais c'est le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète (on ne connaît pour l'instant que cinq des diviseurs premiers de $F 12$ ). Quant à $F 14$ , c'est le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaît aucun diviseur premier.

[modifier] Autres résultats

Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.

Par exemple, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque $340 = 2^2 \times F_1 \times F_2$ .