Théorème de Minkowski

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En mathématiques, le théorème de Minkowski est un résultat concernant la géométrie des réseaux. Il relie le nombre de points du réseau contenu dans une partie convexe symétrique au volume de celle-ci. Ce resultat à été découvert par Hermann Minkowski en 1891^[1] et publié en 1896 dans son livre de Géométrie des nombres^[2].

[modifier] Énoncé

Une partie convexe de l'espace $\mathbb{R}^d$ , symétrique par rapport à l'origine, bornée et de volume $V > 2 d$ , contient au moins un point à coordonnées entières autre que 0.

Plus généralement, on considère un réseau $Γ$ de l'espace $\mathbb{R}^d$ , de volume fondamental $\ell$ . Une partie convexe de l'espace $\mathbb{R}^d$ , symétrique par rapport à l'origine, bornée et de volume $V>2^d \ell$ , contient au moins un point du réseau autre que 0 (par la symétrie centrale, il contient donc au moins trois points du réseau).

[modifier] Démonstration

Il suffit de prouver le premier énoncé. En effet l'application linéaire u qui envoie une base du réseau $Γ$ sur la base canonique de $\mathbb{R}^d$ envoie le réseau $Γ$ sur celui formé des points à coefficients entiers. Elle divise tous les volumes par $\ell$ et conserve les caractères convexe, symétrique, borné.

L'ensemble C contient le vecteur u de coordonnées entières (et le vecteur -u) si et seulement si $C\cap (C+2u)\neq \emptyset$ .

On procède par l'absurde : si C ne contient pas de point à coordonnées entières, on considère les translatés $C\cap (C+2u)$ , pour tous les vecteurs u de coordonnées entières et bornées par N. Cela fait donc $(2 N + 1) d$ convexes translatés, qui ne s'intersectent pas et représentent un volume total de $(2 N + 1) d V$ . En notant $δ$ un majorant des coordonnées des éléments de C, tous ces translatés sont inclus dans un hypercube $[ - 2 N + δ,2 N + δ] d$ de volume

$(4N+2\delta)^d\geq (2N+1)^dV$

D'où l'encadrement

$1<\frac{V}{2^d} \leq \left(\frac{2N+\delta}{2N+1}\right)^d$

qui donne une contradiction pour N tendant vers l'infini.

[modifier] Applications

Ce théorème est habituellement utilisé pour démontrer deux résultats importants en théorie algébrique des nombres : le théorème des unités de Dirichlet, et la finitude du groupe des classes.

[modifier] Notes

↑ Jiri Matousek, Lectures on Discrete Geometry [détail des éditions], p. 20
↑ Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig, 1896 ; republié par Johnson, New York, 1968