Théorème des unités de Dirichlet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine la structure du groupe des unités $E (K)$ (de l'allemand einheit) dans l'anneau $\mathcal{O}_\mathbb{K}\,$ des entiers algébriques d'un corps de nombres $\mathbb{K}\,$ : ce groupe est produit direct du sous-groupe (cyclique) des racines de l'unité incluses dans le corps K et d'un groupe abélien libre de rang $r + s - 1\,$ où r est le nombre de plongements réels et s le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps K. Cet isomorphisme est donné par l'application :

$Log : E(K) \rightarrow\mathbb{R}^r\times\mathbb{R}^s$

$\epsilon\mapsto(log\mid\sigma(\epsilon)\mid)_{\sigma(K)\subset\mathbb{R}}\times(log\mid\sigma(\epsilon)\mid)_{\sigma(K)\subset\mathbb{C}}$

L'image est indicée par les plongements réels de K (r premières composantes), et par le choix d'un représentant de chaque couple de plongement complexe conjugué (s dernières composantes.

L'idée de la preuve est de montrer que les racines de l'unité forment le noyau de ce morphisme, et que l'image est un réseau d'un hyperplan de l'espace d'arrivée, via le théorème de Minkowski.

Cette caractérisation de r et de s est basée sur le fait qu'il existe n manières d'inclure (ou de plonger, d'où le terme plongement) K dans le corps des nombres complexes, où $n = [K : Q]\,$ est le degré du corps K. Ces plongements seront soit inclus dans le corps des nombres réels, soit ne le seront pas ; et ce dernier type de plongement arrive par paires reliées par la conjugaison complexe. Ainsi : $n = r + 2 s\,$ .

Dans le cas d'un corps quadratique réel, le rang du groupe des unités est donc 1 (0 dans le cas complexe). La théorie des unités pour les corps quadratiques réels est essentiellement la théorie de l'équation de Pell-Fermat. Pour tout corps de nombres autre que $\mathbb{Q}$ lui-même et les corps quadratiques imaginaires, le rang du groupe des unités est >0.

La taille des unités est mesurée par un certain déterminant, appelé régulateur. Par ailleurs, le calcul de bases pour la partie libre du groupe des unités est effective, mais se heurte en pratique à la complexité des calculs dès que le degré du corps K augmente (les problèmes surviennent généralement avant le degré 100).

Le théorème admet des généralisations dans plusieurs axes : étude du groupe des S-unités, pour S un ensemble d'idéaux premiers, c'est-à-dire, grossièrement parlant, des éléments dont les composantes suivant tous les facteurs sont inversibles, sauf un certain nombre prescrit ; ou bien des caractères pour l'action d'un groupe de Galois sur ces groupes d'unités.