Théorème de Pascal
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Soit un hexagone inscrit dans une conique. Soit A, B et C les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone s'ils existent. Le théorème de Pascal affirme que A, B et C sont alignés.
La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure obtenue par la construction est appelée hexagramme mystique.
- Nota bene: tout dépend du système d'axiomes choisis, mais les points d'intersection de deux droites existent toujours si on adopte les axiomes de la géométrie projective qui ignore le parallélisme.
Ce théorème est le dual du théorème de Brianchon.
La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points A, B, C d'intersection des côtés opposés de l'hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique.
- sur cette image, les 6 points de la conique sont P1, 2, 3, 4, 5, 6; les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone sont appelés X,Y,Z.
Nota bene: dans son texte d'essai, Pascal mentionne cette propriété comme un petit lemme secondaire, on peut supposer qu'il n'avait pas perçu l'aspect fondamental de ce théorème qui est l'un des principaux de la géométrie projective.
[modifier] Liens internes
- Théorème de Pappus, qui est un cas particulier du théorème de Pascal, lorsque la conique est dégénérée en une bidroite.
- Plus généralement la Géométrie projective en dimension quelconque, le Plan projectif si l’on se contente de 2D ainsi que l’enchaînement des Axiomes de plans projectifs.
- Pour avoir une idée des axiomes qui permettent de permuter l'ordre des points de l'hexagramme, voir le traité projectif des coniques.
- Blaise Pascal, sa vie, son œuvre.
- Hexagramme de Pascal
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