Théorème de Radon

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Les projections des rayons-X sont clairement visibles dans cette coupe prise par un scanner

Le théorème de Radon établit la possibilité de reconstituer en volume un objet au moyen de la totalité de ses projections. Ce théorème offrait la théorie permettant de réaliser des appareils de tomodensitographie alias scanners médicaux. Il doit son nom au mathématicien Johann Radon

En toute rigueur, il est bien entendu impossible de disposer de toutes les projections d'un objet solide, mais compte-tenu des corrélations connues (voir morphologie mathématique), on sait majorer l'erreur obtenue en ne prenant par exemple qu'une projection par degré angulaire. Les méthodes d'entropie maximale (voir théorème de Cox-Jaynes) permettent de suppléer à l'information manquante en restant en dessous du seuil de bruit acceptable.

[modifier] Transformée de Radon

La transformée de Radon est la formulation mathématique d'une projection. La transformée de Radon d'une fonction bidimensionnelle f est donné par l'intégrale selon une direction $\varphi$ :

$p_{\varphi }(x')=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x\cos(\varphi )+y\sin(\varphi )-x')dxdy$

Où $δ(x)$ est l'impulsion de Dirac.

Dans le cas où $x'$ et $\varphi$ sont discrets, la transformée de Radon est équivalente à la transformée de Hough pour une droite.

[modifier] Transformée inverse de Radon

La reconstruction de la fonction f en coordonnées polaires peut alors être réalisée à l'aide de la transformée inverse de Radon:

$\hat{f}(r,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}^{-1}[|\omega |]*p_{\varphi}(x')d\varphi$

Où $\mathcal{F}$ est la transformée de Fourier. La transformée inverse de Radon consiste à filtrer toutes les projections et à les propager sur toute l'image dans la même direction où ils avaient été projetés. D'où le nom «reconstruction par rétroprojection filtrée» parfois aussi utilisé.