Número perfecto

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

Sistema numérico en matemáticas.
Elementais
$\mathbb{N}$ Naturais {0,1,2,3...} $\mathbb{P}$ Primos ⊂ $\mathbb{N}$ , $\mathbb{P}$ = $\mathbb{N}$ x:{1,x} {1,3,5,7,11...} Números abundantes Números amigos Números compostos Números defectivos Números perfectos Números sociábeis $\mathbb{Z}$ Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} $\mathbb{Q}$ Racionais { $\mathbb{Z} , 1/2 , -33/7$ , etc.} $\mathbb{R}$ Reais { $\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{i} , \mathrm{Tr}$ } Irracionais { $\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7},11^{-5}$ , etc} Alxebraicos $Tr$ Trascendentes Pi(π)≈ 3.1415926535 Número e≈ 2.7182818284 (≠ $\mathbb{Q}$ ) $i$ Unidade imaxinaria $= \sqrt{-1}$ $\mathbb{C}$ Números complexos { $\mathbb{R} , \mathrm{i}$ }, ∞ Infinito Números infinitos Números transfinitos
Extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos { $\mathbb{R}$ ,i,j,k} Cuaternións ~i²=j²=k²=ijk=-1 Octonións Sedenións Superreais Hiperreais Surreais
Especiais
Nominais Ordinais {1^o,2^o,...} (de orde) Cardinais { $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
Outros importantes
Secuencias de enteiros Constantes matemáticas Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

Un número perfecto é un entero que é igual á suma dos divisores propios menores que él mesmo.

Así, 6 é un número perfecto, porque os seus divisores propios son 1, 2 e 3; e 6 = 1 + 2 + 3. Os siguientes números perfectos son 28, 496 e 8128.

O matemático grego Euclides descubriu que os catro primeiros números perfectos veñen dados pola fórmula 2^n-1(2ⁿ - 1):

n = 2: 2¹(2² - 1) = 6

n = 3: 2²(2³ - 1) = 28

n = 5: 2⁴(2⁵ - 1) = 496

n = 7: 2⁶(2⁷ - 1) = 8128

Ó darse conta de que 2ⁿ - 1 é un número primo en cada caso, Euclides demostrou que a fórmula 2^n-1(2ⁿ - 1) xera un número perfecto siempre que 2ⁿ - 1 sexa primo.

Os matemáticos da Antigüedade fixeron moitas suposicións sobre os números perfectos basándose nos catro que xa coñecían. Moitas destas suposicións resultaron ser falsas. Unha delas era que, como 2, 3, 5 e 7 eran precisamente os catro primeiros números primos, o quinto número perfecto obteríase con n = 11, o quinto número primo. Sen embargo, 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 · 89 non é primo e polo tanto n = 11 non xera un número perfecto. Dous das outras suposicións equivocadas eran:

O quinto número perfecto tería cinco díxitos, xa que os catro primeiros teñen 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
Os números perfectos rematarían alternativamente en 6 e en 8.

O quinto número perfecto (33550336) ten 8 díxitos, falseando así a primeira suposición. En canto á segunda, o quinto número perfecto remata en 6, pero tamén o sexto (8589869056) remata en 6.

É verdad que si 2ⁿ - 1 é un número primo, entón 2^n-1(2ⁿ − 1) é un número perfecto, pero o recíproco non é necesariamente certo. Hoxe en día, aos números primos xerados pola fórmula 2ⁿ - 1 conoceselles coma números primos de Mersenne, na honra ó monxe do século XVII Marin Mersenne, quen estudou teoría de números e números perfectos.

Posteriormente, Euler demostrou no século XVIII que todos os números perfectos pares xeranse a partir da fórmula que xa descubrió Euclides.

Non se coñece a existencia de números perfectos impares. Sen embargo, existen algúns resultados parciais. Se existe un número perfecto impar debe ser maior que 10³⁰⁰, debe ter polo menos 8 factores primos distintos (e polo menos 11 se non é divisible por 3). Un desos factores debe ser maior que 10⁷, dos deles deben ser maiores que 10.000 e tres factores deben ser maiores que 100.

Considerando a suma dos divisores propios existen outros tipos de números.