אקספוננט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באנליזה מתמטית, אקספוננט הוא פונקציה מעריכית, בעלת תכונות מיוחדות רבות ושימושיות. משמעות המילה אקסופוננט היא חזקה ולכן בתחומים רבים של המדע המונח אקספוננט משמש לתיאור פונקציה מעריכית כללית (פונקציה מהצורה $\ ka^x$ , כאשר a נקרא בסיס הפונקציה). בערך זה נתייחס בשם "אקספוננט" רק לפונקציה המעריכית עם בסיס e.

האקספוננט מופיע בתחומים רבים באנליזה מתמטית, כאשר בכל תחום האקספוננט מוגדר מכיוון אחר. האקספוננט הממשי הוא הפונקציה $\ e^x$ , כאשר e הוא קבוע מתמטי. האקספוננט הממשי (וכן גם האקספוננט המרוכב) מאפשר לבנות את פעולת החזקה ואת הפונקציות המעריכיות בכלל, ולהוכיח את תכונותיהם.

[עריכה] האקספוננט הממשי

פונקציית האקספוננט הממשי היא אחת הפונקציות הבסיסיות שנלמדות בחדו"א. ניתן להגדיר את האקספוננט במספר דרכים שקולות, כל אחת מבליטה תכונה אחרת שלו.

ניתן להגדיר את האקספוננט כפונקציה המעריכית $\ e^x$ , כאשר את הקבוע e מגדירים באמצעות גבול (למספר גבולות אפשריים שתוצאתם היא e ראו הערך על הקבוע e). הגדרה זו מתבססת על הגדרה קודמת של חזקה בין מספרים ממשיים כלשהם. הגדרה אחרת לפונקציה ניתנת על ידי טור חזקות:

$\exp(x) = e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

אפשר לראות מההגדרה הזו, על ידי האריתמטיקה של מכפלת טורים, שמתקיימת התכונה היסודית של האקספוננט:

$\ exp(x)\cdot exp(y) = exp(x+y)$

תכונה זו נובעת מכבר הגדרת הטור ומהבינום של ניוטון, ואין צורך בעובדה שהטור מתכנס לפונקציה מעריכית כדי להוכיח אותה.

פונקציית האקספוננט היא גם הגבול של הסדרה הבאה:

$\ e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^n$

למעשה, באופן כללי בכל אלגברת בנך הפונקציה הזו וטור החזקות שהוצג לעיל תמיד מתכנסים לאותו גבול.

[עריכה] תכונות

הפונקציה $\ e^x$ היא פונקציה רציפה וגזירה (משום שהיא ניתנת להצגה כסכום של טור חזקות מתכנס בכל הישר). בנוסף, הנגזרת של האקספוננט היא שוב האקספוננט -

$\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot x^{n-1} }{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

כאשר המעבר מהשיוויון הראשון לשני נעשה על פי כללי גזירה בטורים, והמעבר מהשיוויון השלישי לאחרון נעשה על ידי ההחלפה $\ k=n-1$ .
תכונה זו כמעט ייחודית לפונקציית האקספוננט, כלומר אם $\ f(x) = f'(x)$ לכל x אז $\ f(x) = C e^x$ כלומר $\ f$ היא פונקציית האקספוננט עד כדי כפל בקבוע ממשי. לכן, ניתן להגדיר את האקספוננט כפונקציה (היחידה) שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית:

$\ f'(x) = f(x)$ לכל $x \in \mathbb{R}$

$\ f(0) = 1$ - אלו תנאי ההתחלה שמייחדים את האקספוננט מכל שאר הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית.

למעשה, האקספוננט הוא הפונקציה האנליטית היחידה שכל הנגזרות שלה ב-0 מקבלות את הערך 1, אך קיימות עוד פונקציות חלקות בעלות אותה תכונה. קל לראות מהתכונה היסודית של האקספוננט שכל הערכים שלו הם חיוביים. הסיבה היא שאם היה לו ערך שלילי - אז מהרציפות, היה קיים מספר ממשי c כך שמתקיים לגביו $\ e^c=0$ . אבל זה לא ייתכן כי אם נניח בשלילה שקיים מספר כזה, אז היה מתקבל מיד:

$\ e = e^1 = e^{1-c + c} = e^{1-c} \cdot e^c = e^{1-c} \cdot 0 = 0$ , מה שכמובן לא ייתכן.

כלומר קיבלנו $\ e^x > 0$ לכל מספר ממשי. ממשפט הערך הממוצע נובע שהפונקציה היא מונוטונית עולה בכל תחום הגדרתה, ובפרט חד חד ערכית. בנוסף, $\ e = e^1 > 1$ ולכן הסדרה הגאומטרית $\ e^n$ שואפת לאינסוף, ולכן האקספוננט הוא פונקציה על כפונקציה מהמספרים הממשיים למספרים החיוביים. למעשה, הוא הומומורפיזם של חבורות בין החבורה $\ ( \mathbb{R} , + , 0 )$ והחבורה $\ ( \mathbb{R}^{>0} , \cdot , 1 )$ .

כיוון שהאקספוננט הוא פונקציה חח"ע מהמספרים הממשיים, קיימת לו פונקציה הפוכה, מהמספרים החיוביים שמסומנת $\ log(x)$ או $\ ln (x)$ , ונקראת הלוגריתם הטבעי.

[עריכה] האקספוננט המרוכב

גם בתורת המספרים המרוכבים פונקציית האקספוננט ממלאת תפקיד חשוב. את הפונקציה שהגדרנו עבור מספרים ממשיים ניתן להרחיב לכל מספר מרוכב. בדומה לאקספוננט הממשי, גם בשדה המספרים המרוכבים קיימות מספר דרכים שקולות להגדיר את האקספוננט.

ניתן להגדיר את האקספוננט באמצעות אותו טור חזקות שבו השתמשנו להגדרת האקספוננט הממשי:

$\ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ כאשר $z \in \mathbb{C}$ , מספר מרוכב כלשהו.

נשים לב, שהסימון e בחזקת z הוא סימון פורמלי בלבד, כיוון שהגדרת האקספוננט קודמת להגדרת חזקות כלליות במספרים המרוכבים. טור זה מתכנס עבור כל מספר מרוכב והוא מגדיר את $\ e^z$ כפונקציה מרוכבת, שהיא פונקציה אנליטית. ניתן להראות (ונוכיח זאת בהמשך) שמתקיים:

$\ e^{x+iy} = e^x \cdot (cos y + i \ sin y )$

[עריכה] תכונות

האקספוננט המרוכב "יורש" את כל התכונות של האקספוננט הממשי, שנבעו מתוך ההגדרה שלו כטור חזקות.

$\ e^{z+w} = e^z \cdot e^w$

$\ (e^z) ' = e^z$

$\ e^0 =1$

האקספוננט המרוכב מתלכד עם האקספוננט הממשי עבור כל מספר ממשי.
על ידי השוואה בין טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות, לבין תוצאת הטור של $\ e^z$ כאשר מציבים $\ z=iy$ מתקבלת התוצאה $\ e^{iy}= cos(y)+i\cdot sin(y)$ . נוסחה זו מכונה נוסחת אוילר, ובפרט מתקבלת זהות אוילר: $\ e^{\pi i}+1=0$ . אם נכפיל את הזהות הזו ב- $\ e^x$ נקבל את הנוסחה הכללית:

$\ e^ {x+iy} = e^x \cdot ( cos y + i sin y )$ , עבור $x , y \in \mathbb{R}$ .

מהנוסחה האחרונה נובע שהאקספוננט המרוכב הוא לא חד חד ערכי, כי לדוגמה, $\ e^{2 \pi i} = 1 = e^0$ . לעומת זאת הוא מחזיר כל מספר מרוכב חוץ מאפס.

[עריכה] האקספוננט ופונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, במספרים הממשיים כמו גם במספרים המרוכבים, ניתן להגדיר באופן נוח בעזרת פונקציית האקספוננט. מנוסחת אוילר, על ידי הצבת y- במקום y, נובע שלכל מספר ממשי מתקיימות הזהויות הבאות:

$\ \cos(y)=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}$

$\ \sin(y)=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$

זהויות אלו יכולות לשמש כהגדרה של הפונקציות הטריגונומטריות עבור כל y מרוכב. ההגדרה הזו נוחה במיוחד, כי היא מאפשרת לגזור את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות ישירות מתכונות האקספוננט המרוכב. כך למשל הפונקציות הטריגונומטריות המרוכבות נשארות מחזוריות גם במישור המרוכב ומקיימות לכל z:

$\ cos (z+2\pi ) = cos (z)$

$\ sin (z+2\pi ) = sin (z)$

ולכל מספר אחר אם $\ cos(z+w)=cos(z)$ לכל z אז בהכרח $\ k \in \mathbb{Z}\ \ \ w = 2k \pi$ , וכך גם לגבי הסינוס.

[עריכה] החזקה המרוכבת

את החזקה המרוכבת נוח להגדיר באמצעות האקספוננט המרוכב והלוגריתם הטבעי המתאים לו:

$\ z^w = e^{ w Ln z}$

הערה: החזקה המרוכבת אינה פונקציה חד ערכית, ומחזירה עבור כל w שאינו רציונלי אינסוף ערכים.

[עריכה] האקספוננט המטריציאלי

הגדרת האקספוננט דרך טור חזקות, מאפשרת להרחיב את ההגדרה לכל אלגברת בנך, ובמיוחד לאלגברת המטריצות. לכל מטריצה ריבועית $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ הטור הבא מתכנס (בכל נורמה שמשמרה את הטופולוגיה הרגילה):

$\ e^A =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \cdot A^n$

ברור שהסימון e בחזקת A הוא סימון פורמלי בלבד, ואפילו אין דרך כללית להגדיר חזקות בין מטריצות. האקספוננט המטריציאלי משמש, בין השאר, בפתרון מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות.