טור טיילור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

טור טיילור הוא הצגה של פונקציה אנליטית כטור חזקות מסדר אינסופי. במקרים רבים ניתן לקבל קירוב מדויק למדי של הפונקציה (לפחות בסביבה של נקודה מסוימת $\ x_0$ ) בעזרת מספר איברים קטן יחסית בטור, והזנחה של חזקות גבוהות יותר. כך אפשר לקרב פונקציה מורכבת על ידי שימוש בפונקציה פשוטה.

היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פעולות חיבור ופעולות כפל בין מספרים ממשיים, פעולות שניתנות לחישוב מדויק. פונקציה כזו, שמוגדרת רק על ידי מספר סופי של פעולות חיבור וכפל, נקראת פולינום. מכאן שאנו רוצים לתאר כל פונקציה באמצעות פולינום.

נקודה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן. שאיפתם הייתה לנסות ולקרב לפולינומים פונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס, ועל ידי כך לחשב את ערך הפונקציות בקלות בכל נקודה מבוקשת, לגזור אותן בקלות, וכדומה. כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא פולינום קרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום יהיה זניח. את המטרה הזו משרתים טורי טיילור ומקלורן. הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור. טור טיילור המחושב בנקודה $\ x_0 = 0$ נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).

גישה נוספת היא לחשוב על טור טיילור כעל הכללה של הקירוב הלינארי (קירוב מסדר ראשון) $\ f(x)= f(x_0) + f'(c) ( x - x_0 ) \approx f(x_0) + f'(x_0) ( x - x_0 )$ שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'.

[עריכה] הגדרה פורמלית

טור טיילור חד ממדי הוא הצגה של הפונקציה הסקלרית במשתנה יחיד $\ f(x)$ מסביב לנקודה $\ x=x_0$ מחושבת על ידי

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0) + \frac 12 f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2 + \frac 16 f^{(3)}(x_0)\cdot(x-x_0)^3 + ... + \frac 1{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n + ...$

ובקצרה

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}}$

כאשר $\ f^{(n)}(x_0) = \left. \frac{d^n f}{dx^n}\right|_{x=x_0}$ ואנו מסכימים ש $\ f^{(0)}(x_0) = f(x_0)$ .

טור טיילור לפונקציה סקלרית של $\ d$ משתנים סביב הנקודה $\ (a_1,\dots,a_d)$ ניתן למציאה באמצעות הפעלת כלל השרשרת על המקרה החד ממדי, והוא: $f(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{(n_1+\cdots+n_d)!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים. לפעמים ההתכנסות תקפה רק ברדיוס מסוים. אך עבור הפונקציות האלמנטריות אקספוננט, סינוס וקוסינוס מובטחת התכנסות בכל התחום.

[עריכה] שימושים

הטור מהווה כלי חשוב באנליזה נומרית על מנת להעריך את ערכה הנומרי של פונקציה על ידי חישוב סדרת חזקות בלבד. שימוש בטור טיילור הוא אחת הדרכים בה יכולים מחשבים להחזיר ערכים מספרים של פונקציות דוגמת סינוס, אם כי ישנן שיטות קירוב נוספות, שחלקן יעילות יותר במקרים מסוימים. עם זאת, לטור טיילור, פרט לחשיבותו בחישובים מספריים יש גם חשיבות תיאורטית רבה בזכות העובדה שהוא מתאר פונקציה שיכולה להיות מסובכת באמצעות טור של פונקציות פשוטות. נוסחת אוילר, לדוגמה, מוכחת באמצעות פיתוח טיילור של פונקציית האקספוננט.

באמצעות טורי טיילור אפשר להגדיר גם אקספוננט/סינוס/קוסינוס של מטריצה או אופרטור, ובאופן כללי - לכל אלגברה (מרחב לינארי עם כפל דיסטריבוטיבי ו אסוציאטיבי) אפשר להגדיר אקספוננט של איבר על ידי הפיתוח של האקספוננט לטור טיילור.

[עריכה] חישובי שארית

מכיוון שלא ניתן לסכום בפועל אינסוף איברים, הרי שלאחר סיכום $\ n$ האיברים הראשונים בטור טיילור, עדיין קיים לרוב הפרש בין ערך הפונקציה בנקודה שבה מחשבים את הטור ובין הסכום שהתקבל. לכן פותחו מספר נוסחאות שמיועדות לתת הערכה של גודל השארית (כלומר, מה גודל ה"טעות" בחישוב). זו הערכה בלבד ולא מספר מדויק - הרי אם היינו יודעים בכמה בדיוק הסכום שלנו רחוק מערך הפונקציה, היינו יודעים מהו ערך הפונקציה.

צורה מקובלת להצגת השארית היא צורת השארית לפי לגראנז' : $\ R_n(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}$ , היא השארית המתקבלת לאחר סכימת $\ n$ איברים, כאשר $\ c$ היא נקודה כלשהי בקטע שבין $\ x_0$ ו- $\ x$ . מכיוון שאיננו יודעים בדיוק מהי נקודת ביניים זו, איננו יכולים לדעת במדויק את גודל השארית אלא רק להעריכו.

[עריכה] דוגמה

הפיתוח הפשוט ביותר של טור טיילור הוא של פונקציית האקספוננט, $\ e^x$ סביב הנקודה $\ x_0 = 0$ . פשטות הפיתוח נובעת מכך שנגזרת האקספוננט היא הפונקציה עצמה, ולכן כל הנגזרות בנקודה $\ x_0 = 0$ הן $\ e^0=1$ . על ידי הצבה בנוסחה מקבלים מיידית את הטור הבא: : $\ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ .

[עריכה] טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות

להלן מספר טורי טיילור ומקלורין של פונקציות נפוצות. כל הפיתוחים נכונים גם עבור ארגומנטים מרוכבים:

אקספוננט: $\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all } x$
לוגריתם טבעי: $\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$
סדרה הנדסית (טור גאומטרי): $\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$
הבינום של ניוטון: $(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha$
סינוס: $\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$
קוסינוס: $\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$
טנגנס: $\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$
סקנס : $\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$
ארכסינוס: $\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$
ארכטנגנס: $\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$
סינוס היפרבולי: $\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$
קוסינוס היפרבולי: $\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$
טנגנס היפרבולי: $\tanh\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}$
ארכסינוס היפרבולי: $\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$
ארכטנגנס היפרבולי: $\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה