גאומטריית נהגי המוניות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שלושה מסלולים לדוגמה הקובעים את מרחקן של שתי נקודות זו מזו

גאומטריית נהגי המוניות היא גאומטריה לא אוקלידית שהומצאה על ידי הרמן מינקובסקי במאה ה-19.

מקור שמה של גאומטריית נהגי המוניות (הידועה גם בשם "גאומטריית מנהטן") בתנועתו של נהג הנוסע בעיר הבנויה כולה מגושי בניינים מלבניים (כמנהטן) שכל כבישיה מאונכים ומקבילים אלה לאלה. מאחר שלא יוכל לעבור דרך הבניינים, יאלץ הנהג לנסוע תמיד מצפון לדרום או ממזרח למערב. לכן, אורך המסלול אותו יעבור נהג כזה יהיה שווה בדיוק לסכום המרחקים אותם עבר בנסיעה מערבה ואלה אותם עבר בתנועתו צפונה. האנלוגיה למנהטן מטעה במקצת, משום שבמנהטן הנהג יכול להגיע רק לנקודות מסוימות, אלה הנמצאות על הכביש. בגאומטריית נהגי המוניות ניתן להגיע לכל נקודה במישור, וההגבלה היחידה היא שהתנועה היא במקביל לאחד משני הצירים.

תוכן עניינים

1 מטריקת מנהטן
2 דוגמאות נוספות למרחק נהגי המוניות
- 2.1 שחמט
- 2.2 מרחק המינג
3 ראו גם

[עריכה] מטריקת מנהטן

מרחק בין שתי נקודות $\ (x_1,y_1),(x_2,y_2)$ הוא אורכו של המסלול הקצר ביותר המחבר ביניהן.

ההבדל הבסיסי בין גאומטריית נהגי המוניות לגאומטריה האוקלידית הוא בהגדרת המרחק בין שתי נקודות.

בגאומטריה אוקלידית מסלול זה הוא של הקו הישר המחבר ביניהן, שאורכו:

$\ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$

(לפי משפט פיתגורס).

בגאומטריית נהגי המוניות "התנועה" נעשית רק במקביל לאחד משני הצירים – על מנת לעבור מנקודה אחת לאחרת יש לנוע מרחק מסוים ימינה (במקביל לציר ה-x) ומרחק מסוים מעלה (במקביל לציר ה-y) כך שהמסלול שנבחר כקצר ביותר בגאומטריה האוקלידית לא יהיה חוקי יותר.

לכן, המרחק בין שתי הנקודות $\ (x_1,y_1),(x_2,y_2)$ הנ"ל יהיה:

$\ |x_1-x_2| + |y_1-y_2|$

(האיבר המחובר מימין מייצג את התנועה במקביל לציר ה-y, וזה משמאל את זו במקביל לציר ה-x.)

במתמטיקה מקובלת הכללה למושג המרחק הקרויה מטריקה, פונקציה המקבלת שתי נקודות במישור נתון ומחזירה את המרחק ביניהן המקיימת מספר תכונות:

אי שליליות: המרחק בין כל שתי נקודות שונות לעולם חיובי, והמרחק בין נקודה לעצמה שווה ל-0.
סימטריה: המרחק בין שתי נקודות לא תלוי בכיוון התנועה.
אי-שיוויון המשולש: לא ניתן לקצר את הדרך בין שתי נקודות באמצעות מעבר בנקודה שלישית.

ניתן לראות לראות שגם המרחק הרגיל (זה של הגאומטריה האוקלידית) וגם המרחק בגאומטריית נהגי המוניות (שאותו נכנה "מטריקת מנהטן") מקיימים דרישות אלה, כלומר כל אחד מהם הוא מטריקה.

מהגדרתה של מטריקת מנהטן ניתן לראות שהמרחק בין שתי נקודות תלוי בכיוון של מערכת הצירים שבה הן נמצאות, אך אינו תלוי בהזזה של מערכת הצירים או בהחלפתה בתמונת ראי שלה.

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה לגודל נתון (הוא הרדיוס). בגאומטריית נהגי המוניות, מעגל הוא ריבוע, שצלעותיו יוצרות זווית של 45 מעלות עם מערכת הצירים.

[עריכה] דוגמאות נוספות למרחק נהגי המוניות

[עריכה] שחמט

תנועתו של הצריח בשחמט מתבצעת במאונך ובמאוזן בלבד, ולכן מרחקו מכל משבצת בלוח נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות. בדומה, גם תנועתו של הרץ (בסריג המשבצות מצבע נתון) מתבצעת גם היא בשני כיוונים המאונכים זה לזה.