חבילת גלים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

חבילת גלים

חבילת גלים הינה פתרון של משוואת גלים לינארית הבנוי כאוסף של גלים מונוכרומטיים. חבילות גלים נמצאות בשימוש כדי לתאר פתרונות פיזיקליים של משוואות גלים במרחב אינסופי, כלומר פתרונות התופסים תחום סופי במרחב. זאת בניגוד לגלים מונוכרומטיים הנמצאים בכל המרחב. בפרט, במכניקת קוונטים חבילות גלים משמשות לתיאור הדינמיקה של חלקיקים.

[עריכה] הגדרה פורמלית

אם נניח שיחס הנפיצה של משוואת הגלים בה מדובר נתון על ידי הפונקציה: $\ \omega =\omega (\vec{k})$ כאשר $\ \omega$ היא תדירות הגל, ו- $\ \vec{k}$ הוא וקטור מספר הגל, אזי חבילת גלים מתוארת באופן כללי כסכום (או אינטגרל) של גלים מונוכרומטיים:

$\ \psi(\vec{r}, t)= \int d^3k ~u(\vec{k}) e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}- i \omega(\vec{k}) t}$

כאשר $\ u(\vec{k})$ הוא המשקל של הגל המונוכרומטי $\ e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}-i\omega(\vec{k}) t}$ . משקל זה ניתן לקבוע מצורת הגל בזמן $\ t=0$ באמצעות טרנספורם פורייה:

$\ u(\vec{k})= \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3r \ \psi( \vec{r},0) e^{-i \vec{k}\cdot \vec{r}}$

במקרים רבים יחס הנפיצה של משוואת הגלים מתואר על ידי פונקציה $\ \omega(\vec{k})$ שאינה חד-ערכית. לדוגמה, יחס הנפיצה של גלים אלקטרומגנטיים הינו $\ \omega^2=c^2 k^2$ (כאשר $\ c$ היא מהירות האור) ולכן $\omega= \pm c k$ . במקרה זה הענפים השונים של יחס הנפיצה מתארים גלים הנעים בכיוונים מנוגדים, וקל להכליל את ההגדרה שלמעלה לצורך תיאורם. ברם בדרך כלל חבילות גלים משמשות לתיאור של גלים הנעים בכיוון אחד, כיוון שתאור של מקרים מורכבים יותר מתקבל מסופרפוזיציה שלהם.

[עריכה] דוגמאות

1. חבילת הגלים בממד אחד עם יחס הנפיצה $\ \omega = c k$ כאשר $\ c$ מהירות הגל, ועם הבחירה $\ u(k)=\frac{\sigma}{\sqrt{ 2 \pi}} e^{-\frac{\sigma^2 k^2}{2}}$ , נתונה בביטוי:

$\ \psi(x,t)= e^{-\frac{(x-ct)^2}{2 \sigma^2}}$

זהו גל בצורת גאוסיאן המתקדם במהירות קבועה במגמת הכיוון החיובי של ציר $\ x$ .

2. חבילת הגלים בממד אחד עם אותו יחס הנפיצה $\ \omega = c k$ , כאשר הפעם הגלים המונוכרומטיים התורמים לחבילה מרוכזים סביב הערך $\ k= k_0$ : $\ u(k)=\frac{\sigma}{\sqrt{ 2 \pi}}e^{-\frac{\sigma^2 (k-k_0)^2}{2}}$ . במקרה זה חבילת הגלים הינה גל המונוכרומטי מאופנן על ידי מעטפת גאוסית (ראה איור):

$\ \psi(x,t)=e^{ik_0(x-ct)} e^{-\frac{(x-ct)^2}{2 \sigma^2}}$

3. יחס הנפיצה של חלקיק קוונטי חופשי (כלומר ללא השפעה של אנרגיה פוטנציאלית) הינו $\omega = \frac{\hbar k^2}{2 m}$ . אם נבחר $\ u(k)=\sqrt{\frac{\sigma}{ 2 \pi}}e^{-\frac{\sigma^2 (k-k_0)^2}{4}}$ , (בחירה המבטיחה שפונקציית הגל של החלקיק מנורמלת), נקבל שצפיפות ההסתברות למציאת החלקיק הינה:

$|\psi(x,t)|^2=\sqrt{ \frac{2}{\pi}}\frac{e^{-\frac{2}{\sigma^2+ \alpha^2 t^2}\left(x-\frac{\hbar k_0}{m}t \right)^2} }{\sqrt{ \sigma^2+ \alpha^2 t^2}}$

כאשר $\ \alpha= 2\hbar/m\sigma$ . חבילת גלים זו מתארת חלקיק המתקדם במהירות $\ \hbar k_0/m$ , בכיוון החיובי של ציר $\ x$ , ובזמן התקדמות החלקיק חבילת הגל המגדירה את ההסתברות למצוא אותו בנקודה במרחב הולכת ומתרחבת. במילים אחרות, אי-הודאות במיקום החלקיק הולכת וגדלה עם הזמן.

4. נתבונן ביחס נפיצה כללי $\ \omega=\omega(k)$ , ו- $\ u(k)=\frac{\sigma}{\sqrt{ 2 \pi}}e^{-\frac{\sigma^2 (k-k_0)^2}{2}}$ , כאשר נניח ש $\ \sigma$ מספיק גדול כך שניתן להניח שחבילת הגלים מרוכזת סביב הערך $\ k=k_0$ . במקרה זה אפשר לקרב את יחס הנפיצה על ידי:

$\ , \omega (k) \simeq \omega(k_0) + \frac{d \omega(k_0)}{dk_0}(k-k_0)$

וחבילת הגלים המתקבלת תחת קירוב זה הינה:

$\ \psi(x,t)=e^{ik_0 \left( x-\frac{\omega(k_0)}{k_0}t\right)} e^{-\frac{\left( x- \frac{d\omega (k_0)}{dk_0}t \right)^2}{2 \sigma^2}}$

חבילת גל זו, כמו בדוגמה 2, מתארת גל נושא מאופנן על ידי מעטפת גאוסית. אולם כאן, בשונה מדוגמה 2, מהירות ההתקדמות של הגל הנושא ושל המעטפת אינן בהכרח זהות.

[עריכה] מהירויות המאפיינות חבילות גלים

כאשר תחום אורכי הגל ממנו מרכבת החבילה קטן ביחס לסקלה האופיינית של השינויים ביחס הנפיצה, אפשר לאפיין את חבילת הגלים בעזרת שתי מהירויות. מהירויות אלו נובעות מהפיתוח של יחס הנפיצה לטור מסביב לאורך הגל המרכזי, $\ k_0$ המרכיב את החבילה:

$\ . \ \omega (k) \simeq \omega(k_0) + \frac{d \omega(k_0)}{dk_0}(k-k_0)$

פיתוח זה מגדיר שתי מהירויות:

[עריכה] מהירות פאזה

מהירות הפאזה מוגדרת בתור:

$\ v_{ph}= \frac{\omega(k_0)}{k_0}$

זוהי מהירותו של גל מונוכרומטי בעל אורך גל $\ k_0$ ותדירות $\ \omega(k_0)$ , וזוהי גם מהירותו של הגל הנושא של חבילת הגלים.

[עריכה] מהירות חבורה

מהירות החבורה מוגדרת בתור:

$\ v_g= \frac{ d\omega(k_0)}{dk_0}$

והיא מהירות ההתקדמות של מעטפת הגל. ניתן לזהות מהירויות אלו בדוגמה (4) שלמעלה. מהירות החבורה היא המהירות שבה ניתן להעביר אותות (כלומר מידע) והיא קטנה ממהירות האור.

[עריכה] דוגמה

כדוגמה למהירות חבורה ומהירות פאזה נסתכל על יחס הנפיצה של גלי רדיו ביונוספירה:

$\ \omega^2=\Omega^2 + c^2 k^2$

כאשר $\ \Omega$ היא תדירות קבועה הנקראת תדירות הפלזמה ו- $\ c$ היא מהירות האור. מהירות הפאזה ומהירות החבורה במקרה זה הינן:

$\ v_{ph}= \frac{\omega}{k}=\sqrt{\frac{\Omega^2}{k^2}+ c^2} >c$

$\ v_{g}= \frac{d \omega}{dk}= \frac{c^2}{v_{ph}} <c$

דוגמה זו מראה כי למרות שמהירות הפאזה יכולה להיות גדולה ממהירות האור, מהירות החבורה, שהיא המהירות בה ניתן להעביר מידע, קטנה ממהירות האור.

[עריכה] עקרון אי-הוודאות

דוגמאות שהבאנו לעיל מראות כי שככל שחבילת הגלים מרוכזת במרחב מספרי הגל, כך היא רחבה יותר במרחב המקום. בפרט, אם התחום שחבילת הגלים תופסת במרחב המקום הוא מסגר גודל של $\ \sigma$ אזי רוחב התחום של אורכי הגל שתורם לחבילה מתכוני הפוך לרוחבה והוא מסדר גודל של $\ 1/\sigma$ (למעשה, החסם התחתון למכפלה $\ \Delta x \cdot \Delta k$ מתקבל עבור חבילת גל גאוסיאנית). עקרון אי-הוודאות של הייזנברג נובע מתכונה זו.