משוואת הגלים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משוואת הגלים היא משוואה שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים. הצורה הכללית של המשוואה היא

$\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})$

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:

$\vec{r}$ הוא המקום במרחב.
$\ t$ הוא הזמן.
הפונקציה $\ \psi (t,\vec{r})$ היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
$\ v$ היא מהירות התקדמות ההפרעה.
$\ \nabla ^2$ הוא הלפלסיאן.

תוכן עניינים

1 משוואת הגלים החד-ממדית
2 פתרון בשיטת פורייה
3 פתרון על ידי נוסחת ד'אלמבר
- 3.1 נוסחת ד'אלמבר למשוואה הומוגנית
- 3.2 נוסחת ד'אלמבר למשוואה אי הומוגנית

[עריכה] משוואת הגלים החד-ממדית

עבור גל חד ממדי המשוואה היא:

$\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \psi(x,t)$

כאשר $\ x$ הוא המקום במרחב החד ממדי.

פתרון כללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה-רון ד'אלמבר והוא:

$\ \psi(x,t) = F(x-vt) + E(x+vt)$

F מייצג גל שנע עם כיוון ציר הx ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך.

פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:

$\ \psi_k(x,t) = a_k e^{i(\omega t - k x)} + b_k e^{i(\omega t + k x)}$

כאשר $\ k$ הוא מספר גל כלשהו (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזוויתית היא $\ \omega = v k$ .

[עריכה] פתרון בשיטת פורייה

הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא

$\ \psi_{\vec{k}} (t,\vec{r}) = A(\vec{k}) e^{i \left( \omega t - \vec {k} \cdot \vec{r} \right)}$

. אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת שילוב של סינוסים וקוסינוסים, או בעזרת סינוסים עם פאזות, בנושא זה כדאי לראות את המאמר הדן באוסצילטור הרמוני.

כאשר:

הגודל $\ \omega = 2 \pi f$ הוא התדירות הזוויתית של הגל.
הווקטור $\vec{k}$ הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל, $|\vec{k}| = k = 2 \pi / \lambda$ .
הקשר בין התדירות הזוויתית לאורך הגל במקרה זה הוא $\omega = v k \!\,$ , במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-לינארי והפונקציה $\ \omega (k)$ נקראת יחס נפיצה.
הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה $\omega = v k \!\,$ , כאשר פונקציית המשרעת $\ A(\vec{k})$ נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שוקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון על ידי התמרת פורייה של פונקציית המשרעת:

$\ \psi(t,\vec{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{ \vec{k} \in \mathbb{R}^3}{ \psi_{\vec{k}}(t,\vec{r}) \ d^3 k}$

עבור גלים לא אידאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.

[עריכה] פתרון על ידי נוסחת ד'אלמבר

על ידי מעבר לצורה הקנונית של משוואת הגלים והצבת תנאי התחלה, ניתן לקבל פתרון אנליטי עבור בעיית הגלים החד ממדית הנתונה בצורה הבאה:

$\ u_{tt}-c^2 u_{xx}=G(x)$

$\ u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x)$

[עריכה] נוסחת ד'אלמבר למשוואה הומוגנית

$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds$

[עריכה] נוסחת ד'אלמבר למשוואה אי הומוגנית

$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds + \frac{1}{2c} \int_0^t \int_{x-c(t-\tau)}^{x+c(t-\tau)} G(s,\tau) ds d\tau$