חפיפת משולשים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בהנדסת המישור, שני משולשים נקראים חופפים אם אפשר להתאים לכל קודקוד של המשולש הראשון קודקוד של המשולש השני, באופן שאורכי הצלעות והזוויות במשולש הראשון יהיו שווים לאלו שבמשולש השני. במקרה כזה אפשר להעתיק את המישור, העתקה שומרת מרחקים וזויות, כך שמשולש אחד יעבור אל המשולש השני ויכסה אותו במדויק (כלומר שטחי והיקפי המשולשים שווים). את החפיפה של המשולש שקודקודיו ABC והמשולש שקודקודיו DEF, באופן שמעתיק את A ל- D, את B ל- E ואת C ל- F, מסמנים ABC≡∆DEF∆.

לכל משולש יש שש תכונות מספריות המאפיינות אותו: ארכי שלוש הצלעות, וגדלי שלוש הזוויות. בגאומטריה האוקלידית, מספיקה בדרך כלל ידיעת שלושה מבין גדלים אלה כדי לאפיין את המשולש כולו. עובדה זו באה לידי ביטוי במשפטי החפיפה, המבטיחים, בתנאים מסוימים, ששוויון של שלושה גדלים בין שני משולשים מראה כי הם חופפים.

להלן משפטי החפיפה, והקיצורים המקובלים לשמותיהם:

• שני משולשים השווים זה לזה בארכי צלעותיהם, הם חופפים. ("צלע-צלע-צלע")
• שני משולשים השווים זה לזה בארכי שתי צלעות ובזווית שביניהן, הם חופפים ("צלע-זווית-צלע")
• שני משולשים השווים זה לזה בשתי זוויות, ובאורך הצלע שביניהן, הם חופפים ("זווית-צלע-זווית")
• שני משולשים השווים זה לזה בארכי שתי צלעות ובזווית שמול הצלע הגדולה, הם חופפים ("צלע-צלע-זווית").

המשפט האחרון מתייחס דוקא למקרה שהשויון הוא בזווית שמול הצלע הגדולה, ואינו נכון ללא תנאי זה. עם זאת, ניתן להשתשמש בהרחבה למשפט זה גם כאשר אין ידוע שזוהי הצלע הגדולה, בתנאי שידוע שהזווית בין שתי הצלעות השוות חדה בשני המשולשים או קהה בשני המשולשים

יחס החפיפה מהווה עידון של יחס הדמיון.