合同
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ユークリッド幾何学において、合同（ごうどう、congruence）とは、二つの図形が全く同じであるということを数学的に表した概念である。
どのような図形を互いに同じとみなすかという基準は重要なことで、基準を変えることにより例えば、トポロジー（位相幾何学）などの別の幾何学も考えられる。
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[編集] 定義
A, B を平面上の二つの図形としよう。A を B にユークリッドの運動、すなわち
- 平行移動：図形上の全ての点をある方向に同じ長さだけ移動すること、
- 回転移動：平面上のある点を中心にしてそこからの距離を保ちつつ図形上の全ての点を同じ角度だけ移動すること、
- 対称移動：平面上のある直線に関して線対称の位置にある点に図形上の全ての点をそれぞれ移動すること、
のみを用いることによって重ねる、すなわち全ての点が一致するようにできるとき、A は B と合同である、または合同関係にあるという。
もっと一般に、ユークリッド空間のある部分集合 A から別の部分集合 B へ等長写像 (isometry) f が存在して、f(A) = B となるとき、A は B に合同である、と定義することもできる。
二つの図形 A, B が互いに合同であるとき、"A ≡ B " と表される。
合同関係は同値関係の一つである。
[編集] 様々な合同条件
[編集] 三角形
ユークリッドの運動のどの操作も、三角形のそれぞれの辺の長さや角の大きさをかえない。逆に二つの三角形が、互いに等しい長さの辺を持ち、対応する角も全て等しければ、二つは合同であることが分かる。つまり、三つの辺全てが等しく、三つの角も全て等しいということは、合同であるための必要十分条件である。この条件はもう少し簡単にすることができる。それが以下の三つである。
- 三辺相等（三角形の3組の辺がそれぞれ等しい）
- 二辺夾角相等（三角形の2組の辺と、その間の角がそれぞれ等しい）
- 一辺両端角相等（三角形の1組の辺と、その両端の角がそれぞれ等しい）
[編集] 直角三角形
- 斜辺と他の一辺相等（斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい）
- 斜辺と一鋭角相等（斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しい）
[編集] 四角形
1つの対角線で2つの三角形に分けたとき、それぞれについて合同であっても、2つの四角形は合同であるとはかぎらない。
[編集] 平行四辺形
- 2組の対辺がそれぞれ等しい
- 2組の対角がそれぞれ等しい
- 2組の対辺がそれぞれ平行
- 2つの対角線がそれぞれの中点で交わる
- 1組の対辺の長さが等しく、かつ平行である
（以上のうち下のもの4つは、合同の条件ではなく、平行四辺形であるための条件、もしくは相似の条件であると思われる）
（3つ目は平行四辺形の定義、他は平行四辺形であるための条件であると中学校では指導している）
[編集] 正方形
- 一辺の長さが等しい。
- 対角線の長さが等しい。
[編集] 円
- 半径が等しい
[編集] 関連項目
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