מצבים קוהרנטיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מצבים קוהרנטיים הינם מצבים קוונטיים של מתנדים הרמוניים אשר התנהגותם בזמן דומה להתנהגות הקלאסית של המערכת (כאשר זו מוגדרת). דמיון זה מתבטא בכך שערכי התוחלת (הממוצעים) של המיקום והתנע משתנים בזמן בדיוק כמו התנע והמקום של מתנד הרמוני קלאסי, כלומר הם מתנהגים באופן מחזורי בזמן בדומה למטוטלת פשוטה. למצבים קוהרנטיים חשיבות רבה בתיאור של מערכות קוונטיות, ותכונות האור של לייזרים. בנוסף לכך הם מהווים מרכיב בסיסי בבניה של תורת השדות הקוונטית המתארת מערכות מרובות חלקיקים.

מצבים הקוהרנטיים באופן כללי הם הכללות של המצבים הקוהרנטיים של מתנד הרמוני פשוט. לכן מרבית הדיון במאמר זה יתמקד במקרה זה, ורק בסופו נסקור את ההכללות ואת המשמעות שלהן.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית ובניית המצבים
- 1.1 הגדרה
- 1.2 בניה של מצבים קוהרנטיים
2 הדינמיקה של מצבים קוהרנטיים
3 יחס אי-וודאות של מצבים קוהרנטיים
4 הכללות
5 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית ובניית המצבים

[עריכה] הגדרה

מצבים קוהרנטיים הינם המצבים העצמיים של אופרטור ההשמדה (נקרא גם אופרטור הורדה, החיסול, ההריסה, ראה אופרטורי סולם בערך מתנד הרמוני קוונטי). כדי להסביר את מהות הגדרה זו נתמקד במקרה הפשוט של מתנד הרמוני קוונטי בממד אחד המתואר על ידי ההמילטוניאן:

$\ H= \frac{p^2}{2 m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2$

כאשר $\ \omega$ היא התדירות העצמית של המתנד, $\ x$ הוא אופרטור המיקום של החלקיק ו- $\ p$ אופרטור התנע. אופרטורי ההשמדה והיצירה (אופרטורי הסולם) של בעיה מוגדרים להיות:

$\begin{matrix} a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\ a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right) \end{matrix}$

כאשר $\ a$ הוא אופרטור ההשמדה ו- $\ a^{\dagger}$ הוא אופרטור היצירה.

מצב קוהרנטי $\ |z \rangle$ (בכתיב דיראק) הינו מצב המקיים:

$a |z \rangle = z|z \rangle$

כאשר $\ z$ הוא מספר מרוכב שרירותי.

[עריכה] בניה של מצבים קוהרנטיים

מההגדרה שלמעלה נובע כי מצב קוהרנטי מתואר על ידי:

$\ |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}e^{ i z a^\dagger} |0 \rangle$

כאשר $\ |0\rangle$ הוא מצב היסוד (כלומר המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר) של המתנד ההרמוני. ניתן להוכיח פתרון זה על ידי השימוש בתכונות אופרטורי היצירה וההשמדה:

$\ a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle$

$\ a^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle$

כאשר $\ |n\rangle$ הוא המצב המתאר את הרמה הn-ית של המתנד.

אפשרות אחרת היא לבנות את המצבים הקוהרנטיים על ידי פתרון של המשוואה הדיפרנציראלית המגדירה אותם. אופרטור התנע בהצגת המקום הינו $\ p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ ולכן מהגדרת המצבים הקוהרנטיים נובע שהם מקיימים את המשוואה:

$\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {\hbar \over m \omega}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_z(x)=z \psi_z(x)$

פתרון משוואה זו הינו:

$\ \psi_z(x)= \left( \frac{\hbar \pi}{m \omega} \right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar}(x-\bar{x})+\frac{i}{\hbar} x \bar{p}}$

כאשר

$z = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\bar{x} + {i \over m \omega} \bar{p} \right)$

[עריכה] הדינמיקה של מצבים קוהרנטיים

המצבים הקוהרנטיים אינם מצבים עצמיים של המערכת, ולכן הם משתנים בזמן. מצבים אלו מאופיינים על ידי שני מספרים: החלק הממשי החלק הדמיוני של המספר המרוכב $\ z$ שהוא הערך העצמי של אופרטור ההשמדה. מספרים אלו מגדירים את ערכי התוחלת של המקום והתנע של המצב הקוהרנטי:

$\ \langle z|x|z \rangle=\bar{x}$

$\ \langle z|p|z \rangle=\bar{p}$

מכאן שגם הדינמיקה של המצבים הקוהרנטיים נקבעת על ידי ההתפתחות בזמן של ערכי התוחלת. אם נסמן ב $\ |z;t\rangle$ את המצב הקוהרנטי לאחר זמן $\ t$ אזי מצב זה נתון על ידי הביטוי:

$\ \psi_z(x)= \left( \frac{\hbar \pi}{m \omega} \right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar}(x-\bar{x}(t))+\frac{i}{\hbar} x \bar{p}(t)}$

כאשר ערכי התוחלת $\ \bar{x}(t)$ ו- $\ \bar{p}(t)$ מקיימים את משוואות התנועה הקלאסיות של מתנד הרמוני שפתרונן הוא:

$\bar{x}(t)= \bar{x}(0) \cos \omega t +\frac{\bar{p}(0)}{m \omega} \sin \omega t$

$\bar{p}(t)= -m \omega \bar{x}(0) \sin \omega t +\bar{p}(0) \cos \omega t$

[עריכה] יחס אי-וודאות של מצבים קוהרנטיים

מצבים קוהרנטיים הם חבילות גלים בעלי יחס אי-הוודאות המינימלי האפשרי:

$\ \Delta p \Delta x=\frac{\hbar}{2}$

כאשר $\ \Delta x$ ו- $\ \Delta p$ הם אי הודאויות במיקום ובתנע של החלקיק, בהתאמה.

[עריכה] הכללות

מצבים קוהרנטיים ניתנים להכללה במספר אופנים:

הכללה למערכת המכילה מספר גדול של מתנדים הרמוניים המצומדים זה לזה (למשל תנודות גלי קול בגביש)
הכללה לתורת השדות הקוונטית בוזונית שם אופרטורי היצירה וההשמדה הם אופרטורים שיוצרים ומשמידים חלקיקים בנקודות כלשהן במרחב (או במרחב התנע).
הכללה לתורת שדות פרמיונית שם יש להשתמש באלגברה גרסמנית לצורך התיאור של מצבים קוהרנטיים
הכללה של מצבים קוהרנטיים עבור הדינמיקה של ספין.