פונקציה יוצרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, פונקציה יוצרת היא כלי המשמש לטיפול בסדרות של מספרים, בדרך של איחודן לאובייקט אלגברי ואנליטי אחד, שממנו אפשר לקרוא את הסדרה כולה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה $\ a_0,a_1,a_2,\dots$ היא הטור $\ a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$ , כאשר $\ x$ הוא משתנה. מוגדרות גם פונקציות יוצרות מסוגים אחרים, בהתאם לשימוש הרצוי.

בשימושים קומבינטוריים מתייחסים לפונקציה היוצרת כאל אובייקט פורמלי, המוגדר גם כאשר הטור אינו מתכנס; הפונקציה אינה אלא "חבל כביסה, עליו אנו תולים סדרת מספרים לתצוגה" ^[1]. במקרים אחרים, ובפרט בתורת המספרים האנליטית, משחקות התכונות האנליטיות של הפונקציה היוצרת תפקיד מרכזי. דוגמאות בולטת לפונקציות יוצרות בהקשר זה הן פונקציית זטא מסוגים שונים, ופונקציות תטא של תבניות ריבועיות.

[עריכה] סוגים של פונקציות יוצרות

תהי $\ \left\{a_n\right\}_{n=0}^\infty$ סדרה של מספרים.

1. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא טור החזקות $\ G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ . בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא משתנה מקרי שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסוים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת לפי הנוסחה $\ G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(X=n)x^n$ . במקרה כזה $\ G_X(1)=1$ , ומן הנגזרות של $\ G_X$ אפשר לקרוא את המומנטים: $\ G_X'(1)$ שווה לתוחלת של X, ובאופן כללי $\ G^{(k)}(1)$ שווה לתוחלת של $\ \frac{X!}{(X-k)!}$ . הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום $\ X+Y$ שווה למכפלת הפונקציות היוצרות: $\ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)$ .

רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים. למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך $\ a_{n,m}$ היא הפונקציה בשני משתנים, $\ G(x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n$ .

2. פונקציה יוצרת אקספוננציאלית: $EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}$ . מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על-ידי גזירה n פעמים והצבת 0: $\ a_n=EG^{(n)}(0)$ . הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה $\ a_0,a_1,a_2,\dots$ היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת $\ a_1,a_2,a_3,\dots$ .