פונקציית החלוקה (פיזיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציית החלוקה (מסומנת בדרך כלל $\ Z$ ) היא מושג בפיזיקה, ובייחוד בתרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית. מקור פונקציה זו היא בגורם נרמול של התפלגויות סטטיסטיות של מצבי מערכת פיזיקלית. פונקציה זו מכילה מידע סטטיסטי רב על המערכת הפיזיקלית ובעזרתה ניתן לחשב גדלים תרמודינמיים רבים. הפונקציה תלויה בטמפרטורה ובמאפיינים שונים של המערכת הפיזיקלית. הפונקציה מסומנת באות Z, שהיא האות הראשונה של שמה הגרמני Zustandssumme (מילולית - סכום על מצבים).

[עריכה] פונקציית החלוקה הקנונית

[עריכה] הגדרה

פונקציית החלוקה עבור מערכת קנונית (מערכת עם מספר חלקיקים, טמפרטורה ונפח קבועים) מוגדרת על ידי:

$Z = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_BT}\right)$

כאשר הסכום הוא על כל המצבים האפשריים של המערכת. $E i$ היא האנרגיה במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו- $\ k_B$ הוא קבוע בולצמן.

פונקצייה זו משמשת גורם נרמול עבור התפלגות בולצמן, לפיה הסיכוי שמערכת תמצא במצב בעל אנרגיה $E i$ פרופורציוני ל- $\exp\left(-E_i/k_BT\right)$ , או בכתיב מתמטי:

$P(E_i) = \frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_i}{k_BT})$

כאשר Z (פונקציית החלוקה) היא מקדם פרופורציה. על מנת שההתפלגות תהיה מנורמלת, סכום ההסתברויות עבור על המצבים צריך להיות שווה ל1, ולכן :

$Z = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_BT}\right)$

עבור מערכת קוונטית, ניתן לכתוב את פונקציית החלוקה גם כ $Z=\operatorname{tr} ( e^{- H/k_BT} )$ כאשר H הוא אופרטור ההמילטוניאן ו- $Z=\operatorname{tr}$ היא העקבה.

עבור מערכת קלאסית בעלת רצף של אנרגיות, פונקציית החלוקה נתונה על ידי:

$Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp[-\beta H(p_1 \cdots p_N, x_1 \cdots x_N)] \; \mathrm{d}^3p_1 \cdots \mathrm{d}^3p_N \, \mathrm{d}^3x_1 \cdots \mathrm{d}^3x_N$

כאשר האינטגרציה מתבצעת על הקואורדינטות והתנעים של כל N החלקיקים ו- h הוא קבוע פלנק

[עריכה] פונקציית חלוקה חד חלקיקית

פונקציית חלוקה של מערכת הכוללת חלקיק יחיד, מכונה פונקציית חלוקה חד חלקיקית ומסומנת לרוב באות $\ \zeta$ . אם המערכת מורכבת מ-N חלקיקים זהים ללא אינטראקציה ביניהם, פונקציית החלוקה של כלל המערכת קשורה לפונקציית החלוקה החד חלקיקית באופן הבא:

$Z= \frac{1}{N!} \zeta^N$

הגורם $\frac{1}{N!}$ נדרש במידה ומדובר בחלקיקים (קלאסיים) זהים שאינם ברי הבחנה (פרדוקס גיבס). במידה והחלקיקים ברי הבחנה $\ Z= \zeta^N$ .

[עריכה] דוגמאות

1. פונקציית החלוקה של גז אידאלי של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות:

$Z = \frac{1}{N!} \left[\frac {V}{h^3}(2\pi m k_B T)^{3/2} \right]^N$

כאשר:

N מספר החלקיקים
m מסתם
h קבוע פלנק
V נפח המערכת

2. פונקציית החלוקה של ספין 1/2 בשדה מגנטי H (בהנחה שהספין קבוע למקום):

$\zeta = 2cosh\left(\frac{\mu_B g H}{2k_BT}\right)$

כאשר:

g הוא מקדם לנדה
$\ \mu_B$ הוא מגנטון בוהר

3. פונקציית חלוקה של אוסצילטור הרמוני קוונטי בעל תדירות $ω$ :

$\zeta = \frac{1}{sinh(\frac{\hbar\omega}{2k_BT})}$

[עריכה] שימושים

מפונקציית החלוקה ניתן לקבל את האנרגיה החופשית, שהיא הפוטנציאל התרמודינמי הקובע את התנהגות המערכת:

$\ F=-k_BT \ln Z$

כעת, על ידי גזירת האנרגיה החופשית (או לחילופין פונקציית החלוקה), ניתן לקבל את כל הגדלים התרמודינמיים המאפיינים את המערכת. לדוגמה:

האנרגיה הפנימית: $\ U= -T^2 \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{F}{T}\right)$
קיבול החום: $\ c_V -T \frac{\partial^2 F}{\partial T^2}$
הלחץ: $\ P = - \frac{\partial F}{\partial V}$
המגנטיזציה $\ M = -\frac{\partial F}{\partial H}$

ניתן גם לחשב את הפלוקטואציות בגדלים הנ"ל. לדוגמה :

$\langle (\delta E)^2 \rangle \equiv \langle (E - \langle E\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}.$

[עריכה] פונקציית החלוקה הגרנדקנונית

[עריכה] הגדרה

פונקציית החלוקה עבור מערכת גרנדקנונית (מערכת עם טמפרטורה ונפח קבועים, אך מספר החלקיקים המערכת משתנה), מסומנת לרוב על ידי אות Z מסולסלת ומוגדרת על ידי:

$\mathcal{Z} = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i-\mu n_i}{k_BT}\right)$

כאשר $\ \mu$ הוא הפוטנציאל הכימי של המערכת, $\ n_i$ הוא מספר החלקיקים במערכת במצב ה-i. כמו קודם, הסכימה היא על כל מצבי המערכת האפשריים, $E i$ היא האנרגיה במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו- $\ k_B$ הוא קבוע בולצמן.

קיים הקשר הבא בין פונקציות החלוקה הגרנדקנונית והקנונית: $\mathcal{Z} = \sum_N exp\left(\frac{\mu N}{k_BT}\right) Z_{can}(N)$ כאשר $Z c a n (N)$ היא פונקציית חלוקה קנונית עם N חלקיקים.

[עריכה] דוגמה

פונקציית החלוקה של גז אידאלי של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות:

$\exp \left[ e^\frac{\mu}{k_BT} V \left( \frac{2\pi m k_BT}{h^2}\right)^{3/2}\right]$

[עריכה] שימושים

מפונקציית החלוקה הגרנדקנונית. ניתן לקבל את הפוטנציאל הגרנדקנוני $\Omega = -k_B T \ln \mathcal{Z}$ ומנגזרות הפוטנציאל הגרנדקנוני את כל הגדלים התרמודינמיים הרלוונטים למערכת.