פרדוקס המספרים המעניינים
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פרדוקס המספרים המעניינים הוא פרדוקס מילולי, הנובע מהגדרה של מספר טבעי בצורה שלכאורה סותרת את עצמה.
הפרדוקס נובע מהסיווג של קבוצת המספרים הטבעיים למספרים "מעניינים" ולמספרים "לא מעניינים". 1 נחשב מעניין, בתור המספר הקטן ביותר, 2 נחשב מעניין בתור המספר הראשוני הראשון, 6,578 הוא מעניין בתור המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שלוש חזקות רביעיות בשתי דרכים ועוד..
כעת ננסה להוכיח שכל המספרים הם מספרים מעניינים, ובכך נגיע לפרדוקס (ליתר דיוק, לאנטינומיה). נניח בשלילה שלא כל המספרים מעניינים. אם כן, קיימת קבוצה (סופית או אינסופית) של מספרים טבעיים שאינם מעניינים. מכיוון שזו קבוצה של מספרים טבעיים, חייב להיות בקבוצה איבר מינימלי. נתבונן במספר זה - עצם העובדה שהוא הקטן ביותר מבין כל המספרים הלא מעניינים היא מעניינת, ועל כן מקומו בקבוצת המספרים המעניינים, ולא בקבוצת המספרים הלא מעניינים.
לכן, האיבר המינימילי בקבוצת המספרים הלא מעניינים הינו מעניין ואין מקומו בקבוצת המספרים הלא מעניינים. בגלל שהוא לא בקבוצת המספרים הלא מעניינים, הוא לא מעניין משום סיבה אחרת ולכן הוא כן בקבוצת המספרים הלא מעניינים, וחוזר חלילה.
הבעיה הנעוצה בלב הפרדוקס היא המושג "מעניין", שאינו מוגדר היטב. ניתן, למשל, לטעון שהיות מספר כלשהו הקטן ביותר בקבוצת הלא מעניינים אינה הופכת אותו למעניין. יתר על כן, לא ניתן מבחינה מתמטית להגדיר "מספר מעניין" בצורה כזו שאיבר שנמצא בקבוצת המספרים הלא מעניינים יהיה מספר מעניין בעצמו, מבלי שבהגדרה עצמה תהיה סתירה. הדבר נובע מצורתה המעגלית של ההגדרה: המספר שאנו מוצאים בהוכחה בדרך השלילה הוא מעניין אם הוא לא מעניין וגם הוא הקטן ביותר מבין הלא מעניינים. מבחינה לוגית, אמירה זו דומה לאמירה "A הוא B אם A הוא לא B" שהיא סתירה. התייחסות עצמית מסוג זה ידועה במיוחד בפרדוקס השקרן.
