צפיפות דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת המספרים, צפיפות דיריכלה היא מדד לגודל של קבוצה אחת, בדרך כלל אינסופית, ביחס לקבוצה אחרת. השימוש במדד זה שכיח בעיקר בתורת המספרים האנליטית, והוא קרוי גם צפיפות אנליטית.

מדד זה לצפיפות הוצע על-ידי דיריכלה, כאשר הוכיח את משפטו המפורסם על ראשוניים בסדרות חשבוניות: אם a זר ל- n, אז יש אינסוף מספרים ראשוניים הנותנים שארית a בחלוקה ל- n. דיריכלה הוכיח למעשה שהצפיפות של קבוצת הראשוניים מהצורה $\ a+nx$ , בתוך כל הראשוניים, שווה ל- $\ \frac{1}{\phi(n)}$ , כאשר $\ \phi$ היא פונקציית אוילר.

הצפיפות מוגדרת באופן הבא: אם $\ A\subseteq B$ קבוצות של מספרים טבעיים, אז הצפיפות של A בתוך B היא הגבול $\ \lim_{s\rightarrow 1^+}\frac{\sum_{a\in A}a^{-s}}{\sum_{b\in B}b^{-s}}$ , בתנאי שהגבול קיים. כאשר הגבול קיים, הצפיפות היא תמיד בין 0 ל- 1. המדד שימושי בעיקר כאשר הסכום $\ \sum_{b\in B}b^{-1}$ שבמכנה שווה לאינסוף. תופעה זו מתרחשת כאשר הקבוצה B היא 'קבוצה גדולה', כמו למשל קבוצת כל המספרים הטבעיים, או קבוצת כל המספרים הראשוניים.

הגדרות אנלוגיות קיימות גם עבור קבוצות אחרות מלבד המספרים הטבעיים, כגון אידאלים ראשוניים בחוגי שלמים של שדות מספרים, או פולינומים מעל שדה סופי.

אם מחזיקים את הקבוצה B קבועה, אפשר לחשוב על הצפיפות היחסית של A כמין פונקציית מידה על המרחב B; הצפיפות מקיימת חלק מן האקסיומות המתארות פונקציות מידה, אך לא את כולן (צפיפות דיריכלה אינה " $\ \sigma$ -אדיטיבית"). את צפיפות דיריכלה אפשר להשוות ל"צפיפות הטבעית", $\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{|A\cap \{1,\dots,n\}|}{|B\cap \{1,\dots,n\}|}$ (כאשר הגבול קיים), שגם לה תכונות רבות של פונקציית מידה. אם הצפיפות הטבעית קיימת, אז גם צפיפות דיריכלה קיימת, ושווה לה בערכה המספרי. מאידך, לא קשה לבנות דוגמאות שבהן הצפיפות הטבעית אינה קיימת, בעוד שצפיפות דיריכלה מוגדרת היטב; במובן זה, צפיפות דיריכלה מהווה הכללה משמעותית של הצפיפות הטבעית. במקרה של משפט דיריכלה שהובא לעיל, גם הצפיפות הטבעית קיימת (אך ההוכחה לכך קשה מן ההוכחה המקורית של דיריכלה).

[עריכה] ראו גם

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A6/%D7%A4/%D7%99/%D7%A6%D7%A4%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_%D7%93%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%9C%D7%94.html

קטגוריה: תורת המספרים

צפיפות דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות