Funkcija

Izvor: Wikipedija

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje elemenata iz jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

[uredi] Definicija

Funkcija ili preslikavanje je svako pravilo $f\colon D \to K$ po kojem se svakom elementu $x \in D$ pridružuje jedinstveni element $y \in K$ . Skup $D$ se naziva područje definicije ili domena funkcije $f$ , a skup $K$ područje vrijednosti ili kodomena funkcije $f$ . $x$ je u tom slučaju nezavisna varijabla ili argument funkcije $f$ , a $y$ je zavisna varijabla funkcije $f$ . Za funkciju se najčešće koristi oznaka $f (x) = y$ .

[uredi] Slika funkcije

Skup svih vrijednosti nezavisne varijable $x$ za koje je funkcija doista definirana još se označava s $D f$ , a skup svih vrijednosti koje poprima zavisna varijabla s $R f$ i zove slika funkcije,

$R_f = \left\{ {y \in K:\left( {\exists x \in D_f } \right)\mbox{ takav da je } y = f(x)} \right\} \subseteq K$

[uredi] Jednakost funkcija

Funkcije $f$ i $g$ su jednake, što zapisujemo sa $f = g$ , ako vrijedi:

imaju jednake domene, tj. $D f = D g$ ;
imaju jednako pravilo preslikavanja tj. $f(x) = g(x), \forall x \in A$ .

Znači, iako funkcije $f(x) = \frac{x^2}{x}$ i $g (x) = x$ imaju jednako pravilo pridruživanja (kada se kod $f (x)$ skrati razlomak dobijemo $f (x) = x$ ) one nisu jednake jer nemaju istu domenu ( $D_f = \mathbb{R}$ , dok je $D_g = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ ).

[uredi] Klasifikacija funkcija

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita elementa domene koja se preslikavaju u isti element kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x',\forall x \in D_f ,\forall x' \in D_f$
ili ekvivalentnu tvrdnju $\forall x,x'\in D \mbox{ takve da } x \ne x', f(x) \ne f(x')$ .

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija kod koje je slika cijela kodomena $R f = K$ , to jest $\forall y \in K \; \exists x \in D, f(x)=y$ . Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija $i_X :X \to X$ definirana s $i_X(x) = x,\forall x \in X$ .