Fall (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Fall í stærðfræði lýsir tengslum á milli tveggja breyta með þeim hætti að gildi annarrar breytunnar ræðst af gildi hinnar breytunnar. Hugtakið fall er mikilvægt fyrir nánast allar greinar stærðfræðinnar og öll magnbundin vísindi.

Efnisyfirlit

1 Formleg skilgreining
- 1.1 Tákn
2 Myndræn líking
3 Fallahugtök og tengt efni

[breyta] Formleg skilgreining

Fall er vörpun af einni breytistærð sem lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð x er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast fallgildi). Fall getur einnig lýst sambandi á milli mengja, þ.e. fyrir hvert stak x í gefnu mengi (sem er kallað skilgreiningarmengi) er til eitt og aðeins eitt stak y í öðru gefnu mengi sem kallast bakmengi. Mengi fallgilda kallast myndmengi (gildismengi) sem þarf ekki að vera það sama og bakmengið. Að sjálfsögðu má notast við aðra bókstafi á breytistærðunum.

Til frekari útskýringar látum við A og B vera tvö mengi, og A er talnamengi. Fall úr A í B er ritað $f: A \to B$ , tengsl á milli þessa mengja er þess eðlis eins og lýst er að ofan, $x \in A$ hefur aðeins eitt gildi, þ.e. fallgildið $y \in B$ , sem að við ritum sem $f (x)$ . Segjum að A og B séu rauntölu mengi og við viljum finna fallgildið af tveim þar sem að fallið er $f (x) = x 2$ , þá ritum við sem svo: $f (2) = 2 2 = 4 = y$ þar með höfum við fundið fallgildið sem er fjórir. Hægt er að lýsa tengslum mengja með grafi, þar sem að x og y eru hnit í hnitakerfi.

Ef eitt stak í skilgreiningarmengi á sér tvö eða fleiri tengd stök í bakmenginu er ekki talað um fall, heldur marggilt fall eða kvíslað fall (dæmi um margilt fall er: $y 2 = x 3$ ).

Sé myndmengi falls talnamengi kallast það einfaldlega fall. Sé myndmengið mengi af vigrum er það kallað vigurgilt fall. Ef að formengi vörpunar er ekki talnamengi er vörpunin ekki fall.

[breyta] Tákn

Hér eru tákn sem hefð er fyrir að nota:

Fall úr $A$ í $B$ er skilgreint þannig: $f:\ A\to B$

Skilgreiningarmengi fallsins $f$ er $D f$

Myndmengi fallsins $f$ er $V f$

Bakmengi fallsins $f$ er $B$

[breyta] Myndræn líking

Við getum gert okkur í hugarlund að við séum í blokk og að það taki 2 sekúndur fyrir stein að falla af fyrstu hæð, af annarri hæð fellur hann á 4 sekúndum o.s.frv. Steinninn getur því aðeins fallið á einn veg og er tíminn sem það tekur steininn að falla alltaf háður staðsetningu þess sem sleppir steininum. Segjum að þú standir á annarri hæð og sleppir steininum þar, við getum kallað staðsetningu okkar (önnur hæð) tölu í skilgreiningarmengi, sú tala er nú tveir. Tíminn sem það tekur steininn að falla til jarðar er þá tala í bakmenginu, það getur aðeins verið um eina tölu að ræða, og sú tala er fjórir.

Fallið sem að um ræðir í þessari líkingu gæti litið út svona $f (x) = 2 x = y$ , ef við stöndum á annarri hæð lítur fallið svona út svona $f (2) = 2 * 2 = 4$ , þ.e. svarið er fjórar sekúndur.

Hér er reyndar gert ráð fyrir því að blokkin sé endalaust há, enda skilgreiningar mengi ekki skilgreint (þá er venjulega reiknað með því að skilgreiningarmengið sé jafnt rauntölumengi), við gætum sagt að blokkin sé aðeins átta hæðir. Við getum þá séð hvert myndmengi þessa falls er með því að skoða útkomuna á öllum hæðunum, við förum þá á hverja hæð í blokkinni og komust að því að á fyrstu hæð er steinninn tvær sekúndur, á annarri fjórar, á þriðju sex o.s.frv. Myndmengið væri þá $V f = {2,4,6,8,10,12,14,15,16}$ , $V f$ er oft notað til að tákna myndmengið.