함수 (수학)
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함수(function)는 어떤 집합(정의역)의 모든 원소에 대해 또 다른 집합(공역)의 단 하나의 원소가 짝지어져 있는 관계(binomial relation)를 가리킨다. 함수는 수학과 거의 모든 자연과학에서 기초적인 개념으로 사용된다.
[편집] 역사
수학적 의미로서 함수라는 용어를 수학적인 의미로 사용한 것은 1694년 라이프니츠가 처음이었다. 그는 곡선의 기울기나 곡선상의 특정한 점을 지정하기 위해 이 용어를 사용하였다. 라이프니츠가 처음 생각한 함수는 현재 미분가능한 함수라고 불리고 있다.
이후, 18세기 중반에 오일러가 f(x) = sin(x) + x3 와 같이 여러개의 인자를 포함한 수식을 설명하기 위해 함수라는 용어를 사용하였다.
19세기에 수학자들은 수학의 모든 부분들을 재정의하기 위해 노력했다. 수학의 기반을 기하학이 아닌 수론에 놓을 것을 제안한 바이어슈트라스는, 라이프니츠보다 오일러의 함수 정의를 더 선호하였다.
19세기 말에 이르러 수학자들은 집합론에 기반해 모든 수학적 개념을 정의하고자 하였으며, 모든 수학적 개념을 집합의 하나로 정의하려고 하였다. 디리클레와 로바체프스키가 거의 동시에 함수를 현대적으로 재정의하였다. (아래 정의를 보라.)
[편집] 정의
집합 X에서 입력값을 받고 집합 Y의 원소를 출력으로 내놓는 함수 f(f : X -> Y 와 같이 표시한다.)는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계(relation)이다.
- X의 모든 원소 x에 대해 x f y(x와 y는 f 관계를 갖는다.)인 원소 y가 Y에 반드시 존재한다.
- f(x)=y이고 f(x)=z이면, y = z이다.
더 간추린 정의는 다음과 같다. X에서 Y로 가는 함수 f는 X의 모든 원소 x에 대해 Y의 원소 y가 유일하게 존재하는 카테시안 곱 X x Y의 부분집합이다.
[편집] 정의역, 공역, 치역
입력값의 집합 X를 함수 f의 정의역이라 하고, 가능한 출력값의 집합 Y는 함수 f의 공역이라 한다. 함수 f의 치역은 f의 출력값들의 집합, 즉 {f(x) : x는 정의역의 모든 원소} 이다. 공역과 치역의 차이는 가능한 결과값과 실제로 만들어지는 결과값의 차이이다. 컴퓨터과학에서는, 함수(서브루틴)의 인자의 자료형과 리턴값의 자료형에 의해 정의역과 공역이 정해진다. 여기에서는 정의역과 공역이 지정된 자료형으로 제한되는 것이며, 치역은 함수가 실제로 만들어내는 결과값들이 된다.
