Csoportelmélet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A csoportelmélet a csoport algebrai struktúrával foglalkozik.

Tartalomjegyzék 1 Történet 2 A csoport definíciói, alapfogalmak 3 Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT). 4 Részcsoportok 5 Konjugálás, mellékosztályok 6 Lagrange tétele 7 Normálosztó, faktorcsoport 8 Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmustétel 9 Abel-csoportok. Bázis 10 Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT) 11 Egyszerű csoportok 12 Sylow-csoportok 13 Normállánc 14 Nilpotens csoportok 15 Feloldható csoportok 16 Szabad csoportok 17 Gráfreprezentáció 18 Permutációcsoport

[szerkesztés] Történet

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Evariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville).

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az ez irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Evariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

[szerkesztés] A csoport definíciói, alapfogalmak

A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G ↦ G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

A1). ∀a,b,c ∈ G elemre (a·b)·c = a·(b·c)	(asszociativitás);
A2). ∃e ∈ G, amelyre e·a = a·e = a	(e nullelem vagy egységelem létezése);
A3). ∀a ∈ G elemhez minden, az A2). tulajdonságot teljesítő e ∈ G esetén található olyan a' ∈ G, amelyre a·a' = a'·a = e	(inverzelemek létezése).

Belátható, hogy bármely csoportban létezik egységelem, mégpedig pontosan egy, és minden elemnek létezik inverze, mégpedig szintén pontosan egy.

Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:

A2'). Tetszőleges a,b ∈ G esetén léteznek olyan x,y ∈ G elemek, melyekre a·x = b és y·a = b teljesül

(az a·x = b és y·a = b egyenletek megoldhatóak G-ben x-re és y-ra)

T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.

Biz.: Legyen e,f ∈ G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a ∈ G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.

T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.

Biz.: A1) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

[szerkesztés] Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT).

[szerkesztés] Részcsoportok

Ha a (G, * ) csoport egy H részhalmaza maga is csoportot alkot a -ra leszűkített * művelettel, akkor (H, * ')-t a (G, * ) részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük ( a * leszűkítése). A részcsoport jelölése: H < G.

Ha , akkor H-t G valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:

• H nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
• H rendje osztja G rendjét.

[szerkesztés] Konjugálás, mellékosztályok

Legyen (G, * ) csoport. Egy csoportelemnek egy csoportelemmel vett konjugáltját az a^x = x ^{− 1}ax kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:

• A fönti definícióval (ab)^x = a^xb^x, (a^x)^y = a^xy, e^x = e és a^e = a (e a G egységeleme, tetszőlegesek).
• Egyes szerzők a konjugáltat az xax ^{− 1} kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyés 2. egyenlete nem teljesül), illetve az jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be G elemei között a relációt a következőképpen: az csoportelemekre . Könnyen belátható, hogy ekvivalenciareláció, tehát szerint G diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugált elemosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugált elemosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

Legyen H < G és . Ekkor

• az halmazt H x szerinti baloldali mellékosztályának, illetve
• a halmazt H x szerinti jobboldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:

• Általános esetben a bal- és jobboldali mellékosztályok különböznek.
• Két baloldali (ill. jobboldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a baloldali (ill. jobboldali) mellékosztályok lefedik a teljes G-t (azaz uniójuk előállítja G-t).
• Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát H rendjével).
• Az előző két megjegyzés alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk) osztója a csoport rendjének.

[szerkesztés] Lagrange tétele

Ha H a G csoport egy részcsoportja, akkor H rendjének és indexének szorzata G rendje

[szerkesztés] Normálosztó, faktorcsoport

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobboldali és baloldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére teljesül. Jelben .

[szerkesztés] Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmustétel

[szerkesztés] Abel-csoportok. Bázis

[szerkesztés] Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT)

Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek egyértelműen meghatározottak.

[szerkesztés] Egyszerű csoportok

Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, kb 10.000 oldal. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik hogy,...”.

[szerkesztés] Sylow-csoportok

[szerkesztés] Normállánc

[szerkesztés] Nilpotens csoportok

[szerkesztés] Feloldható csoportok

Sn akkor és csak akkor felodható ha n<5!

[szerkesztés] Szabad csoportok

[szerkesztés] Gráfreprezentáció

[szerkesztés] Permutációcsoport