תורת החבורות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תורת החבורות היא ענף של המתמטיקה (במסגרת האלגברה) העוסק בחקר המבנה האלגברי הקרוי חבורה ובפונקציות משמרות המבנה שמוגדרות עליו, הנקראות הומומורפיזמים.
חבורה היא מבנה אלגברי הכולל אוסף של אברים ופעולה מוגדרת ביניהם המקיימת מספר כללים מתמטיים. תורת החבורות פותחה כתורה מתמטית, כזו שיש בה חשיבות לענפי מתמטיקה אחרים וכתורה העומדת בפני עצמה. במאה העשרים נמצאו לתורת החבורות שימושים נרחבים בפיזיקה ובמדעי המחשב.
[עריכה] היסטוריה
לתורת החבורות שלושה שורשים: חקר משוואות אלגבריות, תורת המספרים וגאומטריה. המתמטיקאים הראשונים שעסקו בתחום זה הם אוילר, גאוס, לגראנז', אבל ובפרט אווריסט גלואה. גלואה הוא הראשון שיצר זיקה בין תורת החבורות לתורת השדות, באמצעות תורה הקרויה היום תורת גלואה.
אחת הבעיות הראשונות שהובילו לתורת החבורות היא זו של יצירת משוואה ממעלה m ששורשיה הם m שורשים ידועים של משוואה ממעלה n (כאשר m < n). מקרים פשוטים של בעיה זו נחקרו כבר במאה ה-17.
בשנת 1831 היה גלואה הראשון שהבין שפתרונה של משוואה אלגברית קשור למבנה של חבורת התמורות של הפתרונות של אותה משוואה. עבודתו של גלואה לא זכתה להכרה בחייו, ורק בשנת 1846, 14 שנים לאחר מותו, פרסם אותה ג'וזף ליוביל, לאחר שהשקיע חודשים אחדים בבדיקת כתבי היד שהותיר גלואה.
[עריכה] יישומים
- מתמטיקה
- תורת המספרים
- פתרון משוואות אלגבריות
- מיון גאומטריות שונות עפ"י סימטריות
- פיזיקה
- סימטריה
- חיזוי הקוורקים על ידי מארי גל מן ויובל נאמן
- המודל הסטנדרטי
[עריכה] ראו גם
| נושאים באלגברה מופשטת |
|
אלגברה מופשטת | מונואיד | חבורה | חוג |תחום שלמות | שדה | מודול | אלגברה (מבנה אלגברי) | תורת החבורות | תורת גלואה | אלגברת לי | הומומורפיזם | משפטי האיזומורפיזם | תת חבורה נורמלית | אידאל | הצגה לינארית |
