Dirichlet-féle magfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Adott $2π$ szerint periodikus $f (x)$ függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_k\ coskx+b_k\ sinkx\right)$

részletösszgeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk $s n (x)$ -et:

$s_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\left[\int_{-\pi}^{\pi}f(t)coskt\,dt\cdot coskx+\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinkt\,dt\cdot sinkx\right]=$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(cos kt\cdot cos kx+sin kt \cdot sin kx\right) \right] \,dt=$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}cosk\left(x-t\right)\right]=\frac{1}{\pi}\int_{x-\pi}^{x+\pi}f(x-y)D_n(y) \,dy=$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt$ ,

ahol

$D_n(t)=\frac{1}{2}+cos\ t+cos\ 2t+ \cdots +cos\ nt$

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.

Mivel

$D_n(t)\cdot sin\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left\{sin\frac{t}{2}+\left[sin\left(1+\frac{1}{2}\right)t-sin\left(1-sin\frac{1}{2}\right)t\right]+ \cdots+\left[sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t-sin\left(n-sin\frac{1}{2}\right)t\right]\right\}=\frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)t$ ,

ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

$D_n(t)=\frac{sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\ sin\frac{1}{2}\ t}$

A $D n (t)$ függvény nyilván páros, és így

$D_n(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)\right]\ D_n(t)\, dt.$

A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

$\int_{0}^{\pi}D_n(t)\, dt=\frac{\pi}{2}$

Az előző 2 egyenlőség alapján:

$s_n(x)-c=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)-2c\right]D_n(t)\, dt;$

speciálisan:

$s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\varphi_x(t)\ D_n(t)\, dt,$

ahol

$\varphi_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x).$

A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha $\delta \le \pi$ tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor