Halmazelmélet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A halmazelmélet a matematika egyik alapvető tudományága, mely a halmaz fogalmán keresztül a végtelen sok elemű matematikai összességekkel (számosságaritmetika), illetve a logika matematikai vizsgálatával (modellelmélet) foglalkozik. A halmazelmélet alapvető jelentősségét az mutatja, hogy a matematikai és logikai fogalmak döntő többsége kezelhető a halmaz fogalma segítségével. Sokáig uralkodó volt az a nézet, hogy a teljes matematika megalapozható a halmazelmélet segítségével (lásd még: matematikafilozófia).

A halmazelmélet megalkotója Georg Cantor német matematikus, aki a végtelen halmazokra és a halmazok számosságaira vonatkozó úttörő kutatásaival nemcsak a halmazelméletet indította útjára, hanem alapvetően, drasztikusan megváltoztatta a matematika egész arculatát. Elmélete, az utóbb ellentmondásosnak bizonyult naiv halmazelmélet, megreformálásra szorult ugyan, de alapkoncepciói beépültek a matematika minden szegletébe. Az XX. század elején Zermelo, Fraenkel, Neumann és Gödel munkássága révén sikerült axiomatikus alapokra hozni a hamazelméletet (lásd még: axiomatikus halmazelmélet).

Tartalomjegyzék 1 Történet és áttekintés 2 A halmazelmélet alapkoncepciói 2.1 Tulajdonságok és igazságtartományok 2.2 A végtelen halmazelméleti fogalma 2.3 A matematika halmazelméleti létrehozása 2.4 Túl nagy összességek 3 Halmazműveletek 3.1 Egyesítés, unió 3.2 Metszet 3.3 Kivonás 3.4 Komplementerképzés 3.5 Párképzés 3.6 Descartes-szorzat vagy direkt szorzat 3.7 Halmazelméleti függvény 4 Axiomatizálás

[szerkesztés] Történet és áttekintés

A XIX. század végefelé két matematikus Richard Dedekind és Georg Cantor magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentősségű eredményeket értek el a valós számok elméletében. Richard Dedekind bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban van akár irracionális, akár racionális szám. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet az átlós eljárással igazolt). Ennek a cikknek az 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének.

A halmazelmélet cantori szemlélete szerint

tetszőleges T tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre T teljesül.

Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet javíthatatlan hibáinak forrásává vált. A naiv halmazelméletben ugyanis Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egyidőben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon). Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Legelőször Zermelo végzett eredményes kutatásokat az említett ellentmondások kiküszöbölésére. Zermelo vizsgálatait Fraenkel bővítette – kialakítva az úgynevezett Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszert. Más halmazelméleti axiómarendszerek is megalkotásra kerültek (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet), melyek nagyban hozzájárultak a modern halmazelméleti kutatások eredményességéhez.

[szerkesztés] A halmazelmélet alapkoncepciói

A halmazelméletben mindent le lehet írni két kifejezéssel. Az egyik a „halmaz” a másik az a kijelentés, hogy egy adott dolog „eleme” egy halmaznak. Ezek a halmazelmélet alapfogalmai.

[szerkesztés] Tulajdonságok és igazságtartományok

A halmazelmélet legfontosabb objektumai azok a halmazok, melyek egy adott halmaz adott tulajdonságnak eleget tévő elemeiből állnak. Például a természetes számok halmazának, az

halmaznak kiválaszthatjuk azon elemeit, melyek négyzetszámok, azaz előállnak egy természetes szám négyzeteiként:

Amikor valamely szabályosság, vagy tulajdonság teljesül egy halmaz elemeire, akkor ezt az

összetett szimbólummal lelöljük (melyet olyan x-ek a H-ból, melyekre teljesül T(x) -ként mondunk ki) és ahol az ' x ∈ H ' azt jelöli, hogy egy H halmaz elemeiről van szó, a | (függőleges vonal) azt, hogy ezek közül azokat gyűjtjük össze egy halmazba, melyekre igaz a T(x) tulajdonság. Ez lényegében nem más, mint a T tulajdonsg igazságtartománya. A példában eszerint

[szerkesztés] A végtelen halmazelméleti fogalma

Megjegyezzük, hogy már Galilei is rámutatott, hogy a négyzetszámok „ugyanannyian” vannak, mint a természetes számok. Ezt Cantor a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésekkel fogalmazta meg. Két halmaz azonos számosságú (lényegében azonos elemszámú), ha az egyik halmaz minden elemét hozzárendelhetjük a másik halmaz egy-egy eleméhez olymódon, hogy különbözőkhöz mindig különbözőket rendelünk. Például az n n² ilyen tulajdonságó, és ekkor a természtes számok és a négyzetszámok egyenlő számosságúak (holott a négyzetszámok a természetes számoknak töredéke).

Cantor a számosság ezen fogalmával belátta, hogy a természetes számok és a számegyenes pontjai nem azonos számosságúak, azaz nem hozhatók kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe. A valós számok „sokkal többen vannak” mint a természetes számok. Ez a Cantor-tétel egy variánsa, mely azt a meglepő eredményt közli, hogy nagyon soféle rendű végtelen van. A végtelen számosságokkal történő számítások a halmazelméletnek máig jelentős része.

[szerkesztés] A matematika halmazelméleti létrehozása

Lásd még: rendezett pár, reláció, függvény, rendszám, számosság

A halmazelmélet arra is jó, hogy a matematikai fogalmakat előállítsuk benne. Például a 0 számra gondolhatunk úgy, mint arra a halmazra, melynek egyetlen eleme sincs, azaz az üres halmazra:

Az 1 számra, gondolhatunk úgy, mint egy egyelemű halmazra. A meghatározottság kedvéért legyen 1 az üres halmazt tartalmazó halmaz:

A 2 szám legyen eből a két halmazból álló halmaz:

És, így tovább, az n-edik természetes szám, az összes halmazelméleti természetes szám halmaza n-ig:

Ezt a konstrukciót Neumann találta ki, Frege és Hume hasonló gondolatainak egyfajta halmazelméleti kivitelezéseként. Sőt ennek mintájára, a sort folytatva Neumann megalkotta a rendszám fogalmát és még Cantor nem csak a véges, de a végtelen számosságfogalmát is.

A halmazelméletben megfogalmazható még a rendezett pár, a függvény, a valós szám és még nagyon sok matematikai fogalmom. Gyakorlatilag az összes.

[szerkesztés] Túl nagy összességek

A halmazelmélet absztraktságából (tehát hogy csak a „halmaz” és az „eleme” szavakat használja) következnek bizonyos kényelmetlenségek. A kezdetekkor azt gondolták, hogy akármilyen T tulajdonsággal képezhető az { x | T(x) } halmaz és ez is lehet eleme egy halmaznak. Gondolhatunk az { x | x ∉ x } összességre, de valójában az ellentmondás fellépése nélkül nem feltételezhetjük, hogy ez halmaz (lásd: Russell-paradoxon).

A tulajdonságokkal történő halmazképzést tehát korlátozni kell, nem lehet akármilyen dolgokat egy halmazba gyűjteni az ellentmondás fellépése nélkül. Az egyik megoldási mód, ennek a korlátozásnak a kivitelezése, melyet Neumann vitt végig és amiből a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet született, ez a méret korlátozásának elve. A másik a halmazok egymás után, műveletek segítségével történő felépítésének útja, melyet iteratív vagy kumulatív elvnek kevezünk, és amit a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben ölt testet.

[szerkesztés] Halmazműveletek

A halmazok egymásután történő megalkotásának iteratív elve az alábbi úgy nevezett halmazműveleteken nyugszik.

[szerkesztés] Egyesítés, unió

Ha A és B halmazok, akkor jelöli azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak.

[szerkesztés] Metszet

Ha A, B halmazok, akkor jelöli a metszetüket, vagy közös részüket, azaz azt a halmazt, ami pontosan A és B közös elemeit tartalmazza. Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló halmzrendszer elemeinek metszetét.

[szerkesztés] Kivonás

Egy A és egy B halmaz különbségét a művelettel képezzük, elemei pontosan azok, amelyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek:

[szerkesztés] Komplementerképzés

Egy A halmaz komplementerét egy adott U alaphalmaz felett értelmezhetjük, definíciója:

[szerkesztés] Párképzés

Az a, b elemeket tartalmazó rendezett pár

Ez valóban rendelkezik a rendezett pártól elvárható tulajdonsággal, ugyanis csak akkor teljesül, ha a=c és b=d.

[szerkesztés] Descartes-szorzat vagy direkt szorzat

Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán a következő halmazt értjük:

A szorzathalmaz elemei rendezett párok, amely azt jelenti, hogy az elemek közül az első az első halmazból, a második a második halmazból való.

[szerkesztés] Halmazelméleti függvény

Ha adott az A és B halmaz, akkor az A-n értelmezett és B-be érkező függvénynek nevezzük és

-vel jelöljük, az A×B egy olyan f részhalmazát, mely elemeinek első komponensei között az A összes eleme szerepel és a reláció egyértelmű a második komponensében, tehát

• értelmezési tartománya: Dom( f ) = A, továbbá
• minden egyes x ∈ A elemhez egy és csakis egy olyan y ∈ B-beli elem található, hogy (x, y) ∈ f.

Egy A-beli x-hez tartozó, egyértelműen meghatározott, B-beli y elemet

f (x)

-szel jelöljük, így y = f (x) (x, y) ∈ f. Ekkor azt mondjuk, hogy f az x értékhez az y értéket rendeli.

Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha különbözőkhöz különbözőket rendel.

Egy f : A B függvényről azt mondjuk, hogy szűrjektív (vagy ráképez B-re), ha minden elemet felvesz értékként B-ből.

Azt mondjuk, hogy f : A B bijekció (vagy kölcsönösen egyértelmű, vagy egy-egy értelmű), ha injektív és szűrjektív.

[szerkesztés] Axiomatizálás

A naiv halmazelméletet követően, az ellentmondások kiküszöbölése céljából axiomatikus halmazelméleteket hoztak létre. Ezekben a halmaz és elem fogalma alapfogalom, a halmazoktól megkövetelt legfontosabb tulajdonságokat pedig axiómák rögzítik. Ilyen axiómák pl. az unió műveletének elvégezhetősége (azaz hogy két halmaz uniója is halmaz legyen).

A halmazelmélet axiomatizálására számos elmélet született. Ezek közül a két legfontosabb:

• A Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet
• A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet

Ezeken kívül a probléma megoldását megtalálhatjuk Russellnél (típuselmélet) és Quine-nél (Quine-féle típuselmélet) is.