Kúpszelet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Kúpszeletek

Kúpszeletek táblázata, Cyclopaedia, 1728

A matematikában a kúpszelet olyan síkgörbe, mely egy kúp, pontosabban egyenes körkúp és sík áthatásaként jön létre. A kúpszeleteket már i. e. 200 körül felismerték és nevet adtak nekik, amikor is a pergai Apollóniosz tanulmányozta tulajdonságaikat.

[szerkesztés] A kúpszeletek fajtái

Két jól ismert kúpszelet a kör és az ellipszis. Ezek akkor jönnek létre, ha a kúp és sík metszete zárt görbe. A kör az ellipszis speciális esete akkor, ha a sík merőleges a kúp tengelyére. Ha a sík párhuzamos a kúp alkotójával, a kúpszeletet parabolának hívják. Végül, ha a metszet nyitott görbe és nem párhuzamos az alkotóval, a görbe hiperbola. (ebben az esetben a sík a kúp mindkét felét áthatja két széteső görbét alkotva, bár az egyiket gyakran figyelmen kívül hagyják.)

[szerkesztés] Elfajult esetek

Elfajult esetek akkor keletkeznek, ha a sík a kúp csúcsán megy keresztül, ebben az esetben az áthatási görbe ponttá, egyenessé, vagy két metsző egyenessé fajul, ezeket az eseteket gyakran nem sorolják a kúpszeletek közé.

(Még két elfajult eset létezik. Ezekhez az szükséges, hogy a kúp maga is elfajult legyen: vagyis, ha a kúpalkotó szöge a tengelyhez képest 90° vagy 0°. Ha ez a szög 90°, a kúp belseje által elfoglalt tér az egész háromdimenziós tér, míg a kúpon kívüli tér mindössze a csúcsponton átmenő, a tengelyre merőleges sík. Ugyanezt a síkot metszősíkként is választhatjuk, ekkor a kúpmetszet az egész sík. Másrészt, ha az alkotó és a tengely szöge 0° és a metszősík párhuzamos a kúptengyellyel (de nem tartalmazza azt), nincs metszés.)

[szerkesztés] Kúpszeletek mint mértani helyek

Mindegyik kúpszeletet mértani helyként is lehet definiálni, vagyis minden P pontjuknak meghatározott tulajdonságaik vannak:

Kör: $d i s t (P, C) = r$ , ahol C egy adott pont (a középpont) és r egy adott állandó távolság, (a sugár).
Parabola: $d i s t (P, F) = d i s t (P, L)$ , ahol F egy adott pont (a fókusz) és L egy adott egyenes (a direktrix), mely nem tartalmazza az F fókuszt.
Ellipszis: $d i s t (P, A) + d i s t (P, B) = d$ , ahol A,B két nem egybeeső pont (a fókuszok) és $d > d i s t (A, B)$ egy adott állandó távolság (a nagytengely)
Hiperbola: $| d i s t (P, A) - d i s t (P, B) | = d$ , ahol A,B két nem egybeeső pont (a fókuszok) és $d < d i s t (A, B)$ egy adott távolság.

A projektív geometriában a kúpszeletek úgy definiálhatók, hogy mindegyik pontjuk egy adott ponttól (fókusz) és egy adott görbétől (direktrix) egyenlő távolságra van.

[szerkesztés] Excentricitás

Ellipszis (e=1/2), parabola (e=1) és hiperbola (e=2) F fókusszal és direktrixel.

A négy különböző görbét definiáló feltételek összevonhatók egy feltétellé, mely az F pont (fókusz), az F ponton nem átmenő L egyenes (a direktrix) és egy nemnegatív valós szám e (az excentricitás) függvénye. Az adott kúpszelet minden pontjának távolsága az F fókusztól egyenlő e szorozva az L direktrixtől való távolságával. 0 < e < 1 esetében ellipszist, e = 1 esetében parabolát és e > 1 esetében hiperbolát kapunk.

Ellipszis és hiperbola esetén két fókusz-direktrix kombináció vehető fel, mindkettő ugyanazt a teljes ellipszist és hiperbolát írja le. A középpont és a dirktrix távolsága ${a}\over{e}$ , ahol $a$ az ellipszis fél nagytengelye, vagy a távolság a hiperbola középpontjától a csúcspontjáig. A távolság a középponttól a fókuszig $a e$ .

Kör esetén e = 0, így í direktrix végtelen távolságban van a középponttól. Az az állítás azonban, hogy a kör azon pontok helye, melyek távolsága e szorozva az L-től való távolsággal nem használható, mivel zérószor végtelennel kellen számolnunk.

A kúpszelet excentricitása így annak mértéke, hogy milyen mértékben tér el e körtől.

Adott $a$ esetében $e$ annál közelebb van 1-hez, minél kisebb a fél nagytengely.

[szerkesztés] Descartes-koordináták

A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben egy kétváltozós kvadratikus egyenlet mindig kúpszeletet ír le, és az összes kúpszelet leírható ilyen módon. Az egyenlet alábbi alakú lesz:

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\;$

ahol $A$ , $B$ , $C$ nem mind zéró.

Kúpszeletek származtatásának szemléltetése

ekkor:

ha B² − 4AC < 0, az egyenlet ellipszist ír le (hacsak a kúp nem elfajult, például x² + y² + 10 = 0);
- ha $A = C$ és $B = 0$ , az egyenlet kört ír le;
ha $B 2 - 4 A C = 0$ , az egyenlet parabolát ír le;
ha $B 2 - 4 A C > 0$ , az egyenlet hiperbolát ír le;

Megjegyzendő, hogy az A és B csak együtthatók, nem a nagytengely/kistengely hossza.

A koordinátarendszer megfelelő megválsztásával a kanonikus formába írhatóak át a fenti egyenletek:

Kör: $x^2+y^2=a^2\,$
Ellipszis: ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1$
Parabola: $y^2=4ax\,$
Hiperbola: ${x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=1$

Ezek az alakok szimmetrikusak az x tengelyre és kör, ellipszis és hiperbola esetén az y tengelyre is.

[szerkesztés] Polárkoordináták

Fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele (Semi-latus rectum) ellipszis esetében. (Major axis=nagytengely, minor axis=kistengely)

A fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét általában l-el jelölik. Ezt viszonyítják az a fél nagytengelyhez és a b fél kistengelyhez a $a l = b 2$ , vagy $l = a (1 - e 2)$ képlettel.

Polárkoordinátákkal egy kúpszelet a következő egyenlettel adható meg, ha az origó az egyik fókuszban van, a másik pedig, ha létezik, az x tengely pozitív részén:

$r = {l \over (1 - e \cos \theta) }$ .

Mint fent, körre e = 0, ellipszisre 0 < e < 1, parabolára e = 1 és hiperbolára e > 1.

[szerkesztés] Sajátságok

A kúpszeletek mindig "simák". Ez pontosabban azt jelenti, hogy soha nincs inflexiós pontjuk. Ez fontos sok alkalmazásnál, például az aerodinamikában, ahol sima felületek szükségesek a lamináris áramlás biztosításához és a turbulencia elkerüléséhez.

[szerkesztés] Alkalmazások

A kúpszeletek fontosak az asztronómiában: két, egymást kölcsönösen vonzó test pályája kúpszelet, ha a tömegközéppontjukat nyugalomban lévőnek tekintjük. Ha visszatérő pályájuk van, úgy annak alakja ellipszis, ha eltávolodnak egymástól, akkor a pálya parabola vagy hiperbola alakú. (Két-test probléma.)

Az optikában a tükrös távcső vagy a fényszóró tükre forgási paraboloid, vagyis olyan felület, mely úgy származtatható, hogy egy parabolát tengelye körül megforgatunk.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../k/%C3%BA/p/K%C3%BApszelet.html"

Kategória: Geometria