Kuželosečka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Obsah

1 Typy kuželoseček
2 Degenerované kuželosečky
3 Algebraické vyjádření
- 3.1 Invarianty
- 3.2 Klasifikace kuželoseček podle invariantů
4 Podívejte se také na
- 4.1 Externí odkazy

[editovat] Typy kuželoseček

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.

Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

[editovat] Degenerované kuželosečky

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.

Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

[editovat] Algebraické vyjádření

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 13 x + 2 a 23 y + a 33 = 0

kde koeficienty $a i j$ jsou reálná čísla, přičemž $a i j = a j i$ . Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v $x$ a $y$ .

[editovat] Invarianty

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.

Uvedená rovnice má tři invarianty:

diskriminant kuželosečky

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

diskriminant kvadratických členů

$\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

třetím invarientem je

S = a 11 + a 22

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty $a i j$ , avšak uvedené invarianty se nezmění.

[editovat] Klasifikace kuželoseček podle invariantů

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.

Je-li $\Delta\neq 0$ , pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro $Δ = 0$ jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s $δ = 0$ jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro $\delta\neq 0$ se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček	$\delta\neq 0$ středové kuželosečky		$δ = 0$ nestředové kuželosečky
	$δ > 0$	$δ < 0$
$\Delta\neq 0$ vlastní kuželosečky	$Δ S < 0$ reálná elipsa	hyperbola	parabola
	$Δ S > 0$ imaginární elipsa
$Δ = 0$ nevlastní kuželosečky	dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem v nekonečnu	dvě reálné různoběžky	$a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0$ dvě různé reálné rovnoběžky	$a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0$ dvě splývající rovnoběžky	$a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0$ dvě imaginární rovnoběžky