Compattificazione di Alexandrov

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La compattificazione di Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico $X$ è uno spazio topologico compatto che estende lo spazio di partenza $X$ mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con $\infty$ ).

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo il punto in modo che questo "congiunga" i due estremi all'infinito della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza $S 1$ . Analogamente, la compattificazione di Alexandroff del piano reale è la sfera $S 2$ .

[modifica] Definizione

La compattificazione di Alexandroff di uno spazio topologico $X$ è lo spazio topologico

$X^\infty = X\cup\{\infty\},$

ottenuto aggiungendo un punto $\infty$ ad $X$ , i cui aperti sono gli aperti originari di $X$ ed i complementari dei compatti di $X$ .

Più formalmente, la compattificazione di Alexandroff di uno spazio topologico $( X,\mathcal{U} )$ , dove $\mathcal{U}$ è la classe degli aperti che compongono la topologia di $X$ , è lo spazio

$(X^\infty, \mathcal U^\infty)$

con

$X^\infty = X \cup \{ \infty \},$

$\mathcal U^\infty = \mathcal U \cup \{ V \cup \{\infty\}\ |\ X\setminus V {\rm\ compatto\ in\ } X\}.$

[modifica] Proprietà

[modifica] Inclusione

L'inclusione

$i:X\hookrightarrow X^\infty$

è una funzione continua. Se $X$ non è compatto, l'immagine $i (X)$ è un insieme denso in $X^\infty$ .

[modifica] Compattezza

Lo spazio $X^\infty$ è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto $\mathcal{R}$ di $X^\infty$ , esiste certamente un aperto $U \in \mathcal{R}$ del ricoprimento che contiene $\infty$ . Poiché $X \setminus U$ è compatto ed è ricoperto da $\mathcal{R}$ , esiste un sottoricoprimento finito $\mathcal {R}'$ di $X\setminus U$ . Un ricoprimento finito di $X^\infty$ è quindi dato da

$\mathcal{R}' \cup \{ U \}.$

[modifica] Connessione

Se $X$ è connesso, non compatto e di Hausdorff, allora $X^\infty$ è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe $\infty$ e l'altro sarebbe necessariamente compatto. Poiché di Hausdorff, sarebbe quindi anche chiuso: per connessione, l'unico insieme non vuoto aperto e chiuso in $X$ è $X$ stesso, il quale non è però compatto.

[modifica] Spazio di Hausdorff

Se $X$ è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche $X^\infty$ è di Hausdorff. Infatti per ogni $x$ in $X$ esistono due intorni disgiunti $U$ di $x$ e $V$ di $\infty$ : basta prendere $U$ contenuto in un compatto $K$ contenente $x$ , e $V$ il complementare di $K$ .

[modifica] Esempi

La compattificazione di $\R^n$ è la sfera $S n$ . L'inclusione

$\R^n\to S^n$

può essere descritta dalla proiezione stereografica.

La compattificazione di un insieme discreto finito di $n$ punti (dotati quindi della topologia discreta), è un insieme finito discreto di $n + 1$ punti.