Sfera

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La sfera è un oggetto geometrico rotondo e perfettamente simmetrico. In matematica, la sfera è generalmente il bordo di una palla, ed è l'unione di tutti i punti che sono ad una distanza fissata r, detta raggio della sfera, da un punto O detto centro della sfera.

[modifica] Rappresentazione analitica

In geometria cartesiana, una sfera di centro (x₀, y₀, z₀) e di raggio r è rappresentata dall'insieme di punti (x, y, z) tali che

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = r 2

I punti della sfera possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & r \sin\theta \cos\phi \\ y & = & r \sin\theta \sin\phi\\ z & = & r \cos\theta \end{matrix} \right. \qquad (0 < \theta < \pi \mbox{ e } -\pi < \phi < \pi)$

[modifica] Cenni storici

Nel V secolo a.C. questo solido veniva letteralmente venerato dalla scuola pitagorica che ne osservava la caratteristica di avere tutti i punti equidistanti dal centro trovando in essa il significato materiale di armonia.

[modifica] Area e volume

L'area della superficie sferica di raggio $r$ è data dall'equazione:

A = 4π r 2,

mentre il volume racchiuso dalla sfera di raggio $r$ è dato dall'equazione:

$V = \frac{4 \pi r^{3}}{3}.$

La dimostrazione di questi fatti può essere ottenuta in modo elementare usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.

La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume. Il cilindro circoscritto ha un volume che è 3/2 volte quello della sfera, ed una superficie che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.

Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è r/3.

Una sfera può anche essere definita come formata da una circonferenza che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.

[modifica] Terminologia

Due punti della sfera che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta asse, poiché è un'asse di simmetria della sfera.

Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la sfera con un piano passante per l'origine.

Se un punto della sfera è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l'asse. Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.

[modifica] Generalizzazioni ad altre dimensioni

La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale n, una sfera n-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo (n+1)-dimensionale Rⁿ che hanno una distanza fissata r>0 dall'origine dello spazio.

una sfera 0-dimensionale è fatta di una coppia di punti (-r, r) in R
una sfera 1-dimensionale è una circonferenza di raggio r nel piano
una sfera 2-dimensionale è la sfera ordinaria
una sfera 3-dimensionale è una sfera nello spazio Euclideo 4-dimensionale.

Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera n-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con Sⁿ.

[modifica] Generalizzazioni in spazi metrici

Più in generale, in uno spazio metrico (E,d), la sfera di centro x e raggio r>0 è l'insieme

S(x;r) = { y ∈ E | d(x,y) = r } .

Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo Zⁿ con la metrica euclidea, una sfera di raggio r è vuota se e solo se r² non può essere scritto come somma di n quadrati!

[modifica] Curiosità

Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora i migliori risultati sono stati ottenuti dalla NASA, in occasione della costruzione di due sfere da impiegare per un satellite artificiale.