Topologia

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Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge. Il fregio mostra il problema dei sette ponti di Königsberg, uno dei primi studi topologici

La topologia o studio dei luoghi (dal greco τοπος, luogo, e λογος) è una delle più importanti branche della matematica moderna. Si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione.

La topologia si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico, funzione continua e omeomorfismo. Col termine topologia si indica anche la collezione di aperti che definisce uno spazio topologico.

Per esempio un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere a nessuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toro invece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione.

Indice

1 Storia
2 Introduzione elementare
3 Alcuni teoremi di topologia
4 Alcune nozioni utili dalla topologia algebrica
5 Schema generale della teoria
6 Generalizzazioni
7 Voci correlate
8 Collegamenti esterni

[modifica] Storia

I sette ponti di Königsberg, uno dei primi problemi topologici

L'antenata della topologia è stata la geometria antica. L'articolo di Eulero del 1736 sui Sette ponti di Königsberg è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da nessun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.

Georg Cantor, l'inventore della teoria degli insiemi, iniziò a studiare la teoria degli insiemi di punti nello spazio euclideo verso la fine del XIX secolo.

Maurice Fréchet, unificando il lavoro sugli spazi di funzioni di Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli e altri, nel 1906 introdusse il concetto di spazio metrico.

Nel 1914 Felix Hausdorff, generalizzando la nozione di spazio metrico, coniò il termine di spazio topologico e definì quello che oggi è detto spazio di Hausdorff.

Finalmente, nel 1922 Kuratowsky, con una ulteriore lieve generalizzazione fornì il concetto odierno di spazio topologico.

[modifica] Introduzione elementare

Gli spazi topologici sono usati quotidianamente dall'analisi matematica, dall'algebra astratta, dalla geometria: questo rende la topologia una delle grandi idee unificanti della matematica. La topologia generale (o topologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loro connessione, la compattezza e la continuità. La topologia algebrica invece è un potente strumento per studiare gli spazi topologici e le mappe fra essi: essa assegna loro invarianti "discreti" (ad esempio numeri, gruppi, o anelli), più calcolabili, spesso servendosi di funtori. Le idee della topologia algebrica hanno avuto una grande influenza sull'algebra e sulla geometria algebrica.

La motivazione profonda della topologia è che alcuni problemi geometrici non dipendono dalla forma esatta degli oggetti coinvolti, ma piuttosto "dal modo in cui questi sono connessi". Per esempio il teorema della sfera pelosa della topologia algebrica dice che "non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa". Questo fatto è evidente per molte persone, anche se probabilmente non lo riconoscerebbero leggendo l'enunciato formale del teorema, e cioè che non esiste un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Come per i Ponti di Königsberg, il risultato non dipende dalla esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purché la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi.

Per trattare problemi che non considerano la forma esatta degli oggetti, bisogna mettere bene in chiaro quali sono le proprietà degli oggetti su cui possiamo contare: da questo bisogno nasce la nozione di equivalenza topologica. L'impossibilità di attraversare ogni ponte una e una sola volta è vera per ogni configurazione di ponti topologicamente equivalente a quelli di Königsberg, e il problema della sfera pelosa si applica ad ogni spazio topologicamente equivalente a una sfera. Formalmente, due spazi sono topologicamente equivalenti se esiste un omeomorfismo fra loro: in questo caso sono detti omeomorfi e sono, ai fini topologici, esattamente identici.

Una deformazione continua di una tazza di caffé in un toro. Le deformazioni continue vengono formalizzate nelle nozioni di omeomorfismo e omotopia.

Un omeomorfismo è formalmente definito come una funzione biettiva continua dotata di una inversa continua, il che non è molto intuitivo anche per chi conosce già il significato delle parole nella definizione. Una definizione meno formale restituisce meglio il senso di quanto sopra: due spazi sono topologicamente equivalenti se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due. Ad esempio, una tazza ed una ciambella sono omeomorfi:

Un semplice esercizio introduttivo è di classificare le lettere minuscole dell'alfabeto per classi di equivalenza topologica: per semplicità assumiamo che le linee delle lettere abbiano larghezza finita e diversa da zero. In quasi tutti i font di uso comune possiamo trovare una classe {a,b,d,e,o,p,q} di lettere con un buco, una classe {c,f,h,k,l,m,n,r,s,t,u,v,w,x,y,z} di lettere senza buchi e una classe {i,j} di lettere costituite da due parti distinte (a seconda del font, la g può appartenere alla classe con un solo buco o costituire l'unico elemento della classe di lettere con due buchi). Per un esercizio più complicato, si può assumere che le linee abbiano larghezza zero: si possono ottenere molte classificazioni diverse a seconda del tipo di font che viene usato.

[modifica] Alcuni teoremi di topologia

Ogni intervallo chiuso e limitato in R è un compatto. Di più: in Rⁿ, un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. (Vedi il Teorema di Heine-Borel).
Ogni immagine continua di uno spazio compatto è compatta.
Teorema di Tychonoff: qualunque prodotto di spazi compatti è compatto.
Un sottospazio compatto di un sottospazio di Hausdorff è chiuso.
Ogni successione di punti in uno spazio metrico compatto ha (almeno) una sottosuccessione convergente.
Ogni intervallo in R è connesso.
L'iimagine continua di uno spazio connesso è connessa.
Teorema del punto fisso di Brouwer: ogni funzione continua che mandi la palla unitaria in sé stessa ha un punto fisso
Uno spazio metrico è anche uno spazio di Hausdorff, e anche normale e paracompatto.
Il teorema di metrizzazione fornisce condizioni necessarie e sufficienti per una topologia su uno spazio metrico.
Il teorema dell'estensione di Tietze: In uno spazio normale, ogni funzione continua a valori reali definita su un sottospazio chiuso può essere estesa ad una mappa continua definita sull'intero spazio.
Il teorema delle categorie di Baire: Se X è uno spazio metrico completo o uno spazio di Hausdorff localmente compatto, allora l'interno di ogni unione di insiemi numerabili discreti è vuoto.
Su uno spazio di Hausdorff paracompatto, ogni ricoprimento aperto ammette una partizione di unità subordinata alla copertura.
Ogni spazio connesso per archi, localmente connesso per archi e semi-localmente semplicemente connesso ha un rivestimento universale.

[modifica] Alcune nozioni utili dalla topologia algebrica

Omologia e coomologia: numeri di Betti, caratteristica di Eulero.
Applicazioni interessanti: teorema del punto fisso di Brouwer, teorema di Borsuk-Ulam, teorema del sandwich al prosciutto.
Gruppi omotopici (compreso il gruppo fondamentale).
Classi di Chern, classi di Stiefel Whitney, classi di Pontrjagin.

[modifica] Schema generale della teoria

Spazio topologico
- Insiemi aperti, insiemi chiusi, base, prebase, frontiera, parte interna, chiusura
Assioma di separazione Assiomi di separazione
- Assiomi T0-T5, spazio di Hausdorff
- Lemma di Urysonn
- Spazi metrici
Compattezza
- Compattezza per successioni e compattezza topologica
- Compattificazione di Alexandrov
- Compattificazione di Stone-Čech
Connessione
- Connessione e connessione per archi
successioni di fibre: successioni di Puppe, calcoli
Gruppi di sfere omotopici
Teoria dell'ostruzione
K-teorie: KO-teora, K-teorie algebriche
teoria della omotopia stabile
Teorema della rappresentabilità di Brown
(Co)bordismo
Firme
BP di Brown-Peterson e K-teoria Morava
Ostruzione chirurgica
H-spaces, infinite loop spaces, A_∞ rings
Teoria omotopica degli schemi affini
Coomologia di intersezione

[modifica] Generalizzazioni

A volte serve usare gli strumenti della topologia, ma non è disponibile un "insieme di punti". Si può allora ricorrere alla topologia formale, basata sull'ordinamento e la convergenza di insiemi aperti come fondamento teorico; mentre la topologie di Grothendieck sono strutture particolari definite su categorie formali che permettono la definizione di fasci su tali categorie, e con esse la definizione di teorie di coomologia molto generali.