Dilemma del prigioniero

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I due prigionieri coopereranno per ridurre al minimo la condanna di entrambi o uno dei due tradirà l'altro per minimizzare la propria?

Il dilemma del prigioniero è un gioco a informazione completa proposto negli anni Cinquanta da Albert Tucker come problema di teoria dei giochi. Oltre a essere stato approfonditamente studiato in questo contesto, il "dilemma" è anche piuttosto noto al pubblico non tecnico come esempio di paradosso. Il dilemma, anche se usa l'esempio dei due prigionieri per spiegare il fenomeno, in realtà descrive la corsa agli armamenti negli anni '50 da parte di USA e URSS (i due prigionieri) durante la Guerra Fredda.

Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati con prove indiziarie di aver compiuto una rapina. Gli investigatori li arrestano entrambi per il reato di favoreggiamento e li chiudono in due celle diverse impedendo loro di comunicare. A ognuno di loro vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare. Viene inoltre spiegato loro che:

a) se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però condannato a 7 anni di carcere.

b) se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 6 anni.

c) se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno.

Questo gioco può essere descritto con la seguente bimatrice

Facendo il minimax e il maximin si scopre che il punto di equilibrio è, controintuitivamente, (confessa, confessa). Il motivo è che per ognuno dei due lo scopo è minimizzare la propria condanna; e ogni prigioniero

Il paradosso che consegue da questa conclusione sta nel fatto che anche l'altro prigioniero, trovandosi nella stessa situazione, farà lo stesso ragionamento; con un risultato complessivo che non è ottimale per nessuno dei due (6 anni di carcere a testa).

Se pensiamo agli Stati Uniti e all'URSS come ai due prigionieri e alla confessione come l'armamento con l'atomica (ovviamente per contro la non confessione come il non armamento), il dilemma descrive come per le due nazioni fosse inevitabile al tempo della Guerra Fredda la corsa agli armamenti, benché questo risultato finale fosse non ottimale per nessuna delle due superpotenze (e per l'intero mondo).

[modifica] Il paradosso

Il dilemma del prigioniero ha causato interesse come esempio di gioco in cui l'assioma di razionalità pare apparentemente fallire, prescrivendo un'azione che procura più danno ad entrambi i contendenti della scelta alternativa (non confessa, non confessa). Gli studiosi di teoria dei giochi fanno notare che chi la pensa in questo modo probabilmente si immagina un gioco diverso, in cui la vittoria viene valutata sulla somma degli anni di carcere.

Ovvero il gioco:

È facile vedere che questo nuovo gioco, semplificando le strategie dominanti, ha come equilibrio (non confessa, non confessa), ovvero la scelta che conduce al miglior risultato possibile per entrambi.

Questa seconda formulazione (sommando gli anni di carcere) prevede che il prigioniero debba preferire il danno minore per la coppia ma non è questo il suo obiettivo nella formulazione originaria. In quella si suppone sia interessato solo ai rischi che corre personalmente.

[modifica] Possibili soluzioni

A questo punto ci si potrebbe domandare:

• "È possibile che non esista nessuna conclusione logica che permetta al prigioniero di sperare di rimanere in prigione un solo anno o addirittura nessuno?"

• "È possibile che la logica non giunga a nessun'altra soluzione oltre alla accettazione di venire condannati a 6 anni senza alcuna speranza?"

Una possibile soluzione è la seguente, ma richiede un paio di precisazioni e non è universalmente accettata:

• a) Si deve dare per scontato che tutti i personaggi abbiano una capacità logica pressoché perfetta. Questo non vuol dire che debbano essere buoni, altruisti o altro, ma solo che tutti capiscano il gioco allo stesso modo, e non facciano alcun errore;

• b) Dato il punto a) è facile capire che tutti prenderanno la stessa decisione. Non può esistere uno che fa il furbo a scapito degli altri, perché questo automaticamente vorrebbe dire che anche gli altri faranno come lui. Solo il lettore "disattento" può pensare di far fare il furbo ad un solo personaggio.

A questo punto appare chiaro che, se uno dei prigionieri capisce che le conclusioni a cui arriva lui sono le stesse a cui arriva l'altro, scegliere non confessa è l'unica azione possibile.

Infatti se ci si convince che è impossibile che diano risposte diverse (vedi il punto b), allora il discorso egoista cade. Rimanendo solamente le possibilità (confessa, confessa) e (non confessa, non confessa) la scelta è a prova di dubbio.

Un'altra soluzione è quella proposta dalla teoria dei giochi ad informazione incompleta

[modifica] Il dilemma del prigioniero e la dimensione temporale

Possiamo osservare 2 diverse soluzioni delle situazioni del tipo "dilemma del prigioniero" se gli attori del modello devono riprendere la stessa decisione più e più volte.

Costruiamo una matrice di pay off ordinale dove a > b > c >d. Consideriamo un gioco del tipo dilemma del prigioniero con N giocatori (ponendo nella nostra matrice in verticale la scelta di un giocatore ed in orizzontale la scelta di tutti gli altri).

Per i giocatori il migliore dei mondi possibili è quello di vivere in un mondo pulito (immaginiamo che giochino un numero N di giocatori abbastanza grande da far si che il comportamento del singolo influisca molto poco sul risultato finale ma abbia un diretto effetto sul proprio pay off) senza però affrontare i costi per mantenerlo pulito (la classica situazione da free rider).

Poniamo che :

• Tutti gli agenti siano portati a decidere cosa fare infinite volte.
• Gli agenti abbiano contratto un accordo che li obbligherebbe ad un atteggiamento cooperativo (come abbiamo visto una soluzione cooperativa garantirebbe un migliore risultato).
• Ogni volta ognuno di essi, potendo osservare il comportamento degli altri giocatori, possa decidere se gli altri siano degni di fiducia.
• Un giocatore che tradisce gli accordi è considerato costantemente non credibile dunque cade la possibilità di un accordo.

consideriamo r come un tasso di sconto che viene applicato ai pay off per attualizzare il valore dei pay off futuri (un tasso insomma che esprima le preferenze intertemporali dei singoli giocatori).

[modifica] Equilibrio cooperativo

[modifica] Equilibrio non cooperativo

come si può notare il giocatore guadagna molto nel primo periodo raggiungendo un pay off a ma nei periodi successivi si cade in un equilibrio non cooperativo.

la scelta dei giocatori sarà cooperativa se:

ed in particolare ponendo che r sia uguale per entrambi i giocatori (cioè che le preferenze intertemporali siano uguali tra i due) se:

[modifica] Probabilità contro logica

Paradossalmente se tutti e due tirassero una moneta avrebbero comunque più possibilità di fare poco carcere piuttosto che utilizzare la strategia furba; infatti:

Nella scelta con la moneta è chiaro che la situazione è migliore per entrambi. Abbiamo a favore un buon 75% dei casi, nel 50% dei casi la pena verrà diminuita sensibilmente di 5 oppure 6 anni e nel 25% dei casi invece rischieremo di ottenere la stessa pena che avremmo giocando da furbi. La cosa interessante è che solo nel 25% dei casi la pena può peggiorare, e solo di 1 anno.

[modifica] Voci correlate

• Teoria dei giochi
• Giochi ad informazione incompleta

[modifica] Bibliografia e riferimenti

• Equilibrio perfetto nei sottogiochi e dilemma del prigioniero ripetuto