Funzione di Liouville

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In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con λ(n) e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come

$\lambda\left(n\right)=\left(-1\right)^{\sum_{k=1}^{r}e_k}$

dove si intende che n sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia

$n=\prod_{k=1}^{r}p_k^{e_k}$

Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:

$\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}\,\!$ ,

dove Ω(n) è il numero di fattori primi di n, contati nella loro molteplicità. (sequenza A008836 dell'OEIS)

Dal momento che Ω(n) è additiva, λ è completamente moltiplicativa. Inoltre Ω(1)=0 e quindi λ(1)=1. La funzione di Lioville soddisfa le seguenti identità:

$\sum_{d|n}\lambda(d)=1\,\!$ se n è un quadrato perfetto, e:

$\sum_{d|n}\lambda(d)=0\,\!$ altrimenti.

La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:

$\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}$

La serie di Lambert per la funzione di Liouville è

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2}$

con la somma a sinistra simile alla funzione teta di Ramanujan.

La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità:

$\lambda(n) = \sum_{d^2|n}\mu\left(\frac{n}{d^2}\right)$

[modifica] Congetture

Pólya congetturò che $L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0$ per n>1 (congettura di Pólya). Ciò si rivelò essere falso, essendo n=906150257 un controesempio (trovato da Minoru Tanaka nel 1980). Non è noto se L(n) cambi segno infinite volte.

Inoltre, definendo $M(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k}$ , si congetturava che $M(n) \geq 0$ per n sufficientemente grande (questa congettura è a volte attribuita improriamente a Paul Turan). Ciò fu confutato da Haselgrove nel 1958, che dimostrò che M(n) assume valori negativi un numero infinito di volte. La conferma di questa congettura avrebbe condotto ad una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, come è stato mostrato da Paul Turan.

[modifica] Bibliografia

Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.12).
Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).